【題目】如圖,⊙O的半徑為2,弦BC=2,點(diǎn)A是優(yōu)弧BC上一動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),ABC的高BD、CE相交于點(diǎn)F,連結(jié)ED.下列四個(gè)結(jié)論:

①∠A始終為60°;

②當(dāng)∠ABC=45°時(shí),AE=EF;

③當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí),ED=

④線段ED的垂直平分線必平分弦BC.

其中正確的結(jié)論是_____.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)

【答案】①②③④

【解析】分析:①延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)G,如圖1.在RtBGC中,運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問(wèn)題;②只需證到BEF≌△CEA即可;③易證AEC∽△ADB,則,從而可證到AED∽△ACB,則有.由∠A=60°可得到,進(jìn)而可得到ED=;④取BC中點(diǎn)H,連接EH、DH,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EH=DH=BC,所以線段ED的垂直平分線必平分弦BC.

詳解:①延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)G,如圖1.

則有∠BGC=BAC.

CG為⊙O的直徑,∴∠CBG=90°

sinBGC=

∴∠BGC=60°

∴∠BAC=60°

故①正確.

②如圖2,

∵∠ABC=45°,CEAB,即∠BEC=90°,

∴∠ECB=45°=EBC.

EB=EC.

CEAB,BDAC,

∴∠BEC=BDC=90°

∴∠EBF+EFB=90°,DFC+DCF=90°

∵∠EFB=DFC,∴∠EBF=DCF.

BEFCEA中,

,

∴△BEF≌△CEA.

AE=EF.

故②正確.

③如圖3,

∵∠AEC=ADB=90°,A=A,

∴△AEC∽△ADB.

∵∠A=A,

∴△AED∽△ACB.

cosA==cos60°=,

ED=BC=

故③正確.

④取BC中點(diǎn)H,連接EH、DH,如圖3、圖4.

∵∠BEC=CDB=90°,點(diǎn)HBC的中點(diǎn),

EH=DH=BC.

∴點(diǎn)H在線段DE的垂直平分線上,

即線段ED的垂直平分線平分弦BC.

故④正確.

故答案為:①②③④

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