Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C，且其對稱軸l為x＝－1，點P是拋物線上B，C之間的一個動點（點P不與點B，C重合）．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）小唐探究點P的位置時發(fā)現(xiàn)：當動點N在對稱軸l上時，存在PB⊥NB，且PB＝NB的關(guān)系，請求出點P的坐標；

（3）是否存在點P使得四邊形PBAC的面積最大？若存在，請求出四邊形PBAC面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】 （1）拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3；

（2點P的坐標為（－1－，－2）；

（3）存在，四邊形PBAC的面積最大，最大值為．

【解析】（1）由拋物線y=ax2+bx-3（a≠0）點A（1，0）和點B（-3，0），由待定系數(shù)法就可以直接求出a、b的值而求出拋物線的解析式．
（2）由（1）的解析式就可以求出C點的坐標，求出OC的值，在Rt△CON中由勾股定理就可以求出CN的值，CP1=NP1時，
作P1H⊥CN于H，由三角形相似就可以求出P1N的值，從而求出P1的坐標；
（3）設(shè)出點E的坐標，連接BE、CE，作EG⊥OB于點G，就可以表示EG、BG、OG的值就可以表示出四邊形BOCE的面積，然后化為頂點式就可以求出其面積的最大值．

解：（1）拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3．

（2）

如圖，過點P作PM⊥x軸于點M，

設(shè)拋物線對稱軸l交x軸于點Q．

∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°，

∴∠PBM＋∠NBQ＝90°．

∵∠PMB＝90°，

∴∠PBM＋∠BPM＝90°．

∴∠BPM＝∠NBQ．

又∵∠BMP＝∠BNQ＝90°，PB＝NB，

△BPM≌△NBQ．∴PM＝BQ．

∵拋物線y＝x2＋2x－3與x軸交于點A（1，0）和點B，且對稱軸為x＝－1，

∴點B的坐標為（－3，0），點Q的坐標為（－1，0）．∴BQ＝2．∴PM＝BQ＝2．

∵點P是拋物線y＝x2＋2x－3上B、C之間的一個動點，

∴結(jié)合圖象可知點P的縱坐標為－2．

將y＝－2代入y＝x2＋2x－3，得－2＝x2＋2x－3．

解得x1＝－1－，x2＝－1＋（舍去）．

∴此時點P的坐標為（－1－，－2）．

（3）存在．

如圖，連接AC．可設(shè)點P的坐標為（x，y）（－3﹤x﹤0），

則y＝x2＋2x－3．∵點A（1，0），∴OA＝1．

∵點C是拋物線與y軸的交點，∴令x＝0，得y＝－3．即點C（0，－3）．

∴OC＝3．由（2）可知

S四邊形PBAC＝S△BPM＋S四邊形PMOC＋S△AOC

＝BM·PM＋（PM＋OC）·OM＋OA·OC

＝（x＋3）（－y）＋（－y＋3）（－x）＋×1×3

＝－y－x＋．將y＝x2＋2x－3代入可得

S四邊形PBAC＝－（x2＋2x－3）－x＋

＝－（x＋）2＋．∵－﹤0，－3﹤x﹤0，

∴當x＝－時，S四邊形PBAC有最大值．

此時，y＝x2＋2x－3＝－．

∴當點P的坐標為（－，－）時，

四邊形PBAC的面積最大，最大值為．

“點睛”本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；會運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；能靈活運用相似三角形性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系；理解坐標與圖形性質(zhì)，會運用勾股定理的逆定理證明三角形為直角三角形；學(xué)會用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題.