【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形,點(diǎn)P在劣弧BC上(不與點(diǎn)B,C重合).
(1)如圖1,若PA是⊙O的直徑,則PA______PB+PC(請?zhí)?/span>“>”,“=”或“<”)
(2)如圖2,若PA不是⊙O的直徑,那么(1)中的結(jié)論是否仍成立?如果不成立,請說明理由:如果成立,請給出證明.
(3)如圖3,若四邊形ACPB的面積是16.
①求PA的長;
②設(shè)y=S△PCB+S△PCA,求當(dāng)PC為何值時(shí),y的值最大?并直接寫出此時(shí)⊙O的半徑.
【答案】(1)=;(2)結(jié)論仍然成立,理由見解析.(3)①PA=8,②PC=5,y的值最大,△ABC的外接圓的半徑為 .
【解析】
(1)根據(jù)△ABC是等邊三角形,⊙O是△ABC的外接圓,PA是直徑,得PC=PA,PB=PA;(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定,可證△CBE≌△ABE(SAS),PC=AE,故PA=PE+AE=PB+PC;(3)①如圖3中,作CM⊥PA于M,BN⊥PA于N.根據(jù)S四邊形ACPB=S△PAC+S△PAB得16=PACM+PABN,根據(jù)三角函數(shù)得CM=PCsin60°,BN=PCsin60°,故16=PA(PB+PC),PA2=64;②設(shè)PC=x,則PB=8-x,
由y=S△PCB+S△PCA=PCPBsin60°+8PCsin60°,得y=x(8-x)+x=-x2+x=-(x-5)2+,根據(jù)二次函數(shù)二次函數(shù)最值性質(zhì)和勾股定理可求解.
解:(1)如圖1中,
∵△ABC是等邊三角形,⊙O是△ABC的外接圓,PA是直徑,
∴PA平分∠BAC,∠ACP=∠ABP=90°,
∴∠PAC=∠PAB=×60°=30°,
∴PC=PA,PB=PA,
∴PA=PB+PC.
故答案為=.
(2)結(jié)論仍然成立.
理由:如圖2中,在PA上取一點(diǎn)E,使得PE=PB.
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
∴∠APB=∠ACB=60°,
∵PE=PB,
∴△PBE是等邊三角形,
∴∠PBE=∠ABC=60°,
∴∠ABE=∠CBP,
∵BC=BA,BP=BE,
∴△CBE≌△ABE(SAS),
∴PC=AE,
∴PA=PE+AE=PB+PC.
(3)①如圖3中,作CM⊥PA于M,BN⊥PA于N.
∵S四邊形ACPB=S△PAC+S△PAB,
∴16=PACM+PABN,
∵∠APC=∠ABC=60°,∠APB=∠ACB=60°,
∴CM=PCsin60°,BN=PCsin60°,
∴16=PA(PB+PC),
∵PB+PC=PA,
∴PA2=64,
∵PA>0,
∴PA=8.
②設(shè)PC=x,則PB=8-x,
∵y=S△PCB+S△PCA=PCPBsin60°+8PCsin60°,
∴y=x(8-x)+x=-x2+x=-(x-5)2+,
∵-<0,
∴x=5時(shí),y有最大值,
∴PC=5,CM=,PM=,AM=,
在Rt△ACM中,AC==7,
∴△ABC的外接圓的半徑為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+1)x+(m2+1)=0.
(1)若該方程有實(shí)數(shù)根,求m的值.
(2)對于函數(shù)y1=x2-(m+1)x+(m2+1),當(dāng)x>1時(shí),y1隨著x的增大而增大.
①求m的范圍.
②若函數(shù)y2=2x+n與函數(shù)交于y軸上同一點(diǎn),求n的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,己知AB是⊙O 的直徑,C是⊙O 上一點(diǎn),∠ACB的平分線交⊙O 于點(diǎn)D,作PD∥AB,交CA的延長線于點(diǎn)P.連結(jié)AD,BD.
求證:(1)PD是⊙O 的切線;
(2)△PAD△DBC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為推動(dòng)“時(shí)刻聽黨話 永遠(yuǎn)跟黨走”校園主題教育活動(dòng),計(jì)劃開展四項(xiàng)活動(dòng):A:黨史演講比賽,B:黨史手抄報(bào)比賽,C:黨史知識(shí)競賽,D:紅色歌詠比賽.校團(tuán)委對學(xué)生最喜歡的一項(xiàng)活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生,并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1,圖2兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請結(jié)合圖中信息解答下列問題:
(1)本次共調(diào)查了 名學(xué)生;
(2)將圖1的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)已知在被調(diào)查的最喜歡“黨史知識(shí)競賽”項(xiàng)目的4個(gè)學(xué)生中只有1名女生,現(xiàn)從這4名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生參加該項(xiàng)目比賽,請用畫樹狀圖或列表的方法,求出恰好抽到一名男生一名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD和正方形AEFG中,邊AE在邊AB上,AB=,AE=1.將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)BE的延長線交直線DG于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P,G第一次重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn).在這個(gè)過程中:
(1)∠BPD=______度;
(2)點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,直線y=-x+12分別交x軸、y軸于A、B點(diǎn),將△AOB折疊,使A點(diǎn)恰好落在OB的中點(diǎn)C處,折痕為DE.
(1)求AE的長及sin∠BEC的值;
(2)求△CDE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別同時(shí)開挖兩段河渠,所挖河渠的長度y(m)與挖掘時(shí)間x(h)之間的關(guān)系如圖所示.根據(jù)圖象所提供的信息有:①甲隊(duì)挖掘30m時(shí),用了3h;②挖掘6h時(shí)甲隊(duì)比乙隊(duì)多挖了10m;③乙隊(duì)的挖掘速度總是小于甲隊(duì);④開挖后甲、乙兩隊(duì)所挖河渠長度相等時(shí),x=4.其中一定正確的有( 。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,∠BAC的平分線交BC邊于G,AG的中垂線與CB的延長線交于E,與AB、AC、DC分別交于點(diǎn)M,N,F,下列結(jié)論:①tan∠E=,②△AGC≌△EMG,③四邊形AMGN是菱形,④S△CFN=S四邊形AMGN,其中正確的是______(填序號).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為6,點(diǎn)E是正方形內(nèi)部一點(diǎn),連接BE,CE,且∠ABE=∠BCE,點(diǎn)P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn),連接PD,PE,則PD+PE的最小值為_____.
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