【題目】如圖,拋物線y=ax2 +bx+ 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-4,0)、B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.E(1,2)為線段BC的中點(diǎn),BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)在直線EF上求一點(diǎn)H,使△CDH的周長最小,并求出最小周長;
(3)若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng),當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),
△EFK的面積最大?并求出最大面積.
【答案】(1)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,)
(2)H(,)
(3)K(-,)
【解析】
(1)將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可求出待定系數(shù)的值,進(jìn)而可用配方法求出其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)根據(jù)拋物線的解析式可求出C點(diǎn)的坐標(biāo),由于CD是定長,若△CDH的周長最小,那么CH+DH的值最小,由于EF垂直平分線段BC,那么B、C關(guān)于直線EF對稱,所以BD與EF的交點(diǎn)即為所求的H點(diǎn);易求得直線BC的解析式,關(guān)鍵是求出直線EF的解析式;由于E是BC的中點(diǎn),根據(jù)B、C的坐標(biāo)即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo);可證△CEG∽△COB,根據(jù)相似三角形所得的比例線段即可求出CG、OG的長,由此可求出G點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式,由此得解;
(3)過K作x軸的垂線,交直線EF于N;設(shè)出K點(diǎn)的橫坐標(biāo),根據(jù)拋物線和直線EF的解析式,即可表示出K、N的縱坐標(biāo),也就能得到KN的長,以KN為底,F、E橫坐標(biāo)差的絕對值為高,可求出△KEF的面積,由此可得到關(guān)于△KEF的面積與K點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出其面積的最大值及對應(yīng)的K點(diǎn)坐標(biāo).
(1)由題意,得解得,b=-1.
所以拋物線的解析式為,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,).
(2)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M.因?yàn)?/span>EF垂直平分BC,即C關(guān)于直線EG的對稱點(diǎn)為B,連結(jié)BD交于EF于一點(diǎn),則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H,使DH+CH最小,即最小為
DH+CH=DH+HB=BD=.而.
∴△CDH的周長最小值為CD+DR+CH=.
設(shè)直線BD的解析式為y=k1x+b,則解得,b1= 3.
所以直線BD的解析式為y=x+ 3.
由于BC= 2,CE=BC∕2 =,Rt△CEG∽△COB,
得CE:CO=CG:CB,所以CG= 2.5,GO= 1.5.G(0,1.5).
同理可求得直線EF的解析式為y=x+.
聯(lián)立直線BD與EF的方程,解得使△CDH的周長最小的點(diǎn)H(,).
(3)設(shè)K(t,),xF<t<xE.過K作x軸的垂線交EF于N.
則KN=yK-yN=-(t+)=.
所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN(t+ 3)+KN(1-t)= 2KN= -t2-3t+ 5 =-(t+)2+.
即當(dāng)t=-時(shí),△EFK的面積最大,最大面積為,此時(shí)K(-,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一塊長方形的土地,寬為120m,建筑商把它分成甲、乙、丙三部分,甲和乙均為正方形,現(xiàn)計(jì)劃甲建住宅區(qū),乙建商場,丙地開辟成面積為3200m2的公園.若設(shè)這塊長方形的土地長為xm.那么根據(jù)題意列出的方程是_____.(將答案寫成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2011山東濟(jì)南,27,9分)如圖,矩形OABC中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn),與AB邊交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式,并求出m為何值時(shí),S取得最大值;
②當(dāng)S最大時(shí),在拋物線的對稱軸l上若存在點(diǎn)F,使△FDQ為直角三角形,請直接寫出所有符合條件的F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖所示,在中,,將折疊,使點(diǎn)落在點(diǎn)處,折痕所在直線交的外角平分線于點(diǎn),則點(diǎn)到的距離為______.
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【題目】如圖,內(nèi)接于⊙O,,是⊙O上與點(diǎn)關(guān)于圓心成中心對稱的點(diǎn),是邊上一點(diǎn),連結(jié).已知,,是線段上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)并延長交四邊形的一邊于點(diǎn),且滿足,則的值為_______________.
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【題目】(1)計(jì)算:(﹣2ab)2+a2(a+2b)(a﹣2b)+a8÷a2
(2)解方程:
(3)先化簡,再求值:÷,其中x=﹣.
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【題目】如圖,直線y=﹣x+5與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)D,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=﹣x+5交于B,D兩點(diǎn),點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M是直線BD上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),其橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)M作x軸的垂線,交直線BD于點(diǎn)P,當(dāng)線段PM的長度最大時(shí),求m的值及PM的最大值;
(3)在拋物線上是否存在異于B、D的點(diǎn)Q,使△BDQ中BD邊上的高為3,若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤島,媽媽在孤島P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船(如圖所示).小船從P處出發(fā),沿北偏東60°方向劃行200米到A處,接著向正南方向劃行一段時(shí)間到B處.在B處小亮觀測到媽媽所在的P處在北偏西37°的方向上,這時(shí)小亮與媽媽相距多少米(精確到1米)?
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)
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【題目】如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.雙曲線的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)D,且與AB交于點(diǎn)E,連接DE.
(1)求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)F是OC邊上一點(diǎn),且△FBC∽△DEB,求直線FB的解析式.
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