【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點P為AC邊上的一點,將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)(點P對應(yīng)點P′),當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時,點B、P、P′恰好在同一直線上,此時作P′E⊥AC于點E.
(1)求證:∠CBP=∠ABP;
(2)求證:AE=CP;
(3)當(dāng),BP′=時,求線段AB的長.
【答案】解:(1)證明:∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到,∴AP=AP′。∴∠APP′=∠AP′P。
∵∠C=90°,AP′⊥AB,∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°。
又∵∠BPC=∠APP′(對頂角相等)。∴∠CBP=∠ABP。
(2)證明:如圖,過點P作PD⊥AB于D,
∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,∴CP=DP。
∵P′E⊥AC,∴∠EAP′+∠AP′E=90°。
又∵∠PAD+∠EAP′=90°,
∴∠PAD=∠AP′E。
在△APD和△P′AE中,
∵,
∴△APD≌△P′AE(AAS)。∴AE=DP。∴AE=CP。
(3)∵,∴設(shè)CP=3k,PE=2k,則AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k。
在Rt△AEP′中,,
∵∠C=90°,P′E⊥AC,∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠P′PE=90°。
∵∠BPC=∠EPP′(對頂角相等),∴∠CBP=∠P′PE。
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°,∴△ABP′∽△EPP′。
∴。即。∴。
在Rt△ABP′中,,即。
解得AB=10
【解析】
試題:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP′,根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠APP′=∠AP′P,再根據(jù)等角的余角相等證明即可;
(2)過點P作PD⊥AB于D,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP,然后求出∠PAD=∠AP′E,利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DP,從而得證;
(3)設(shè)CP=3k,PE=2k,表示出AE=CP=3k,AP′=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出P′E=4k,再求出△ABP′和△EPP′相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出P′A=AB,然后在Rt△ABP′中,利用勾股定理列式求解即可.
試題解析:(1)證明:∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到,
∴AP=AP′,
∴∠APP′=∠AP′P,
∵∠C=90°,AP′⊥AB,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°,
又∵∠BPC=∠APP′,
∴∠CBP=∠ABP;
(2)證明:如圖,過點P作PD⊥AB于D,
∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,
∴CP=DP,
∵P′E⊥AC,
∴∠EAP′+∠AP′E=90°,
又∵∠PAD+∠EAP′=90°,
∴∠PAD=∠AP′E,
在△APD和△P′AE中,
,
∴△APD≌△P′AE(AAS),
∴AE=DP,
∴AE=CP;
(3)解:∵,
∴設(shè)CP=3k,PE=2k,
則AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k,
在Rt△AEP′中,P′E==4k,
∵∠C=90°,P′E⊥AC,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠EPP′=90°,
∵∠BPC=∠EPP′,
∴∠CBP=∠EP′P,
又∵∠CBP=∠ABP,∴∠ABP=∠EP′P,
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°,
∴△ABP′∽△EPP′,
∴,
即,
解得P′A=AB,
在Rt△ABP′中,AB2+P′A2=BP′2,
即AB2+AB2=(5)2,
解得AB=10.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的頂點A的坐標(biāo)為(﹣1,1),點B在x軸正半軸上,點D在第三象限的雙曲線y=上,過點C作CE∥x軸交雙曲線于點E,則CE的長為( )
A. B. C. 3.5D. 5
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【題目】每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點均在格點上.
(1)把△ABC向上平移5個單位后得到對應(yīng)的△A1B1C1,畫出△A1B1C1;
(2)畫出與△ABC關(guān)于原點O對稱的△A2B2C2;
(3)△A1B1C1與△A2B2C2關(guān)于某個點對稱,則這個點的坐標(biāo)為 .
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,其對稱軸x=﹣1,給出下列結(jié)果:①b2>4ac;②abc>0;③2a+b=0;④a﹣b+c<0;⑤3a+c>0.其中正確結(jié)論的序號是_____.
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【題目】已知:如圖,在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE.過點A作AE的垂線交DE于點P.若AE=AP=1,PB=.下列結(jié)論:①△APD≌△AEB;②點B到直線AE的距離為;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正確結(jié)論的序號是( )
A.①③④ B.①②⑤ C.③④⑤ D.①③⑤
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過點O作OD⊥AB,交BC的延長線于D,交AC于點E,F是DE的中點,連接CF.
(1)求證:CF是⊙O的切線.
(2)若∠A=22.5°,求證:AC=DC.
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【題目】如圖,是的邊的中點,過延長線上的點作的垂線,為垂足,與的延長線相交于點,點在上,,∥.
(1)證明:;
(2)證明:點是的外接圓的圓心;
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【題目】為進(jìn)一步深化基教育課程改革,構(gòu)建符合素質(zhì)教育要求的學(xué)校課程體系,某學(xué)校自主開發(fā)了A書法、B閱讀,C足球,D器樂四門校本選修課程供學(xué)生選擇,每門課程被選到的機會均等.
(1)學(xué)生小紅計劃選修兩門課程,請寫出所有可能的選法;
(2)若學(xué)生小明和小剛各計劃送修一門課程,則他們兩人恰好選修同一門課程的概率為多少?
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【題目】小飛研究二次函數(shù)y=-(x-m)2-m+1(m為常數(shù))性質(zhì)時如下結(jié)論:①這個函數(shù)圖象的頂點始終在直線y=-x+1上;②存在一個m的值,使得函數(shù)圖象的頂點與軸的兩個交點構(gòu)成等腰直角三角形;③點A(x1,y1)與點B(x2,y2)在函數(shù)圖象上,若x1<x2,x1+x2>2m,則y1<y2;④當(dāng)-1<x<2時,y隨x的增大而增大,則m的取值范圍為m≥2其中錯誤結(jié)論的序號是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
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