【題目】在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,D為AB邊上一動點(點D與點A、B不重合),聯(lián)結CD,過點D作DE⊥DC交邊BC于點E.
(1)如圖,當ED=EB時,求AD的長;
(2)設AD=x,BE=y,求y關于x的函數(shù)解析式并寫出函數(shù)定義域;
(3)把△BCD沿直線CD翻折得△CDB',聯(lián)結AB',當△CAB'是等腰三角形時,直接寫出AD的長.
【答案】(1)AD=;(2)y=(0<x<4);(3)﹣或+
【解析】
(1)根據(jù)等角的余角相等,證明∠ACD=∠EDB=∠B,推出tan∠ACD=tan∠B,得到即可求出AD;
(2)求出sin∠B=,cos∠B=,表達出EH,BH,DH,證明△ACD∽△HDE,利用相似比即可解答;
(3)分兩種情形:①如圖31中,設CB′交AB于K,作AE⊥CK于E,DM⊥CB′于M,DN⊥BC于N.利用角平分線的性質定理求出BD即可.②如圖32中,當CB′交BA的延長線于K時,同法可得BD.
解:(1)∵ED=EB,
∴∠EDB=∠B,
∵CD⊥DE,
∴∠CDE=∠A=90°,
∵∠ACD+∠ADC=90°,∠ADC+∠EDH=90°,
∴∠ACD=∠EDB=∠B,
∴tan∠ACD=tan∠B,
∴,
∴,
∴AD=.
(2)如圖1中,作EH⊥BD于H.
在Rt△ACB中,
∵∠A=90°,AC=3,AB=4,
∴BC=,
∴sin∠B=,cos∠B=
∵BE=y,
∴EH=BEsin∠B =y,BH=BEcos∠B =y,
∴DH=AB﹣AD﹣BH=4﹣x﹣y,
∵∠A=∠DHE=90°,∠ACD=∠EDH,
∴△ACD∽△HDE,
∴,
∴,
∴y=(0<x<4).
(3)①如圖3﹣1中,設CB′交AB于K,作AE⊥CK于E,DM⊥CB′于M,DN⊥BC于N
∵AC=AB=3,AE⊥CB′,
∴CE=E B′=CB′=,
∴AE=,
∵∠ACE=∠KCA,∠AEC=∠KAC=90°,
∴△ACE∽△KCA,
∴,即
∴AK=,CK=,
∴BK=AB﹣AK=4﹣,
∵∠DCK=∠DCB,DM⊥CM,DN⊥CB,
∴DM=DN,
∴,
∴BD=BK=﹣,
∴AD=AB﹣BD=4﹣(﹣)=+.
②如圖3﹣2中,當CB′交BA的延長線于K時,同法可得BD=BK==+,
∴AD=AB﹣BD=﹣.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,平行四邊形在平面直角坐標系中,(點在點的左側)兩點的橫坐標是方程的兩個根,點在軸上,其中.
若是第一象限位于直線上方的一點,過作于過作軸于點,作軸交直線于為中點,其中的周長是;若為線段上一動點,為直線上一動點,連接,求的最小值,此時軸上有一個動點,當最大時,求點坐標;
在的情況下,將繞點逆時針旋轉后得到如圖2,將線段沿著軸平移記平移過程中的線段為,在平面直角坐標系中是否存在點,使得以點為頂點的四邊形為菱形,若存在,請求出點的坐標,若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校八年級甲、乙兩班各有學生50人,為了了解這兩個班學生身體素質情況,進行了抽樣調查過程如下,請補充完整,
收集數(shù)據(jù):從甲、乙兩個班各隨機抽取10名學生進行身體素質測試測試成績(百分制)如下:
甲班:65,75,75,80,60,50,75,90,85,65
乙班:90,55,80,70,55,70,95,80,65,70
(1)整理描述數(shù)據(jù):按如下分數(shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):
成績x人數(shù)班級 | 50≤x<60 | 60≤x<70 | 70≤x<80 | 80≤x<90 | 90≤x<100 |
甲班 | 1 | 3 | 3 | 2 | 1 |
乙班 | 2 | 1 | m | 2 | n |
在表中:m=________;n=________.
(2)分析數(shù)據(jù):
①兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表所示:
班級 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
甲班 | 75 | x | 75 |
乙班 | 72 | 70 | y |
在表中:x=________,y=________.
②若規(guī)定測試成績在80分(含80分)以上的學生身體素質為優(yōu)秀請估計乙班50名學生中身體素質為優(yōu)秀的學生有________人.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】鐘南山院士談到防護新型冠狀病毒肺炎時說:“我們需要重視防護,但也不必恐慌,盡量少去人員密集的場所,出門戴口罩,在室內注意通風,勤洗手,多運動,少熬夜.”某社區(qū)為了加強社區(qū)居民對新型冠狀病毒肺炎防護知識的了解,通過微信群宣傳新型冠狀病毒肺炎的防護知識,并鼓勵社區(qū)居民在線參與作答《2020年新型冠狀病毒防治全國統(tǒng)一考試(全國卷)》試卷(滿分100分),社區(qū)管理員隨機從有400人的某小區(qū)抽取40名人員的答卷成績,并對他們的成績(單位:分)統(tǒng)計如下:
85 | 80 | 95 | 100 | 90 | 95 | 85 | 65 | 75 | 85 |
90 | 90 | 70 | 90 | 100 | 80 | 80 | 90 | 95 | 75 |
80 | 60 | 80 | 95 | 85 | 100 | 90 | 85 | 85 | 80 |
95 | 75 | 80 | 90 | 70 | 80 | 95 | 75 | 100 | 90 |
根據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如下的表格和統(tǒng)計圖:
等級 | 成績() | 頻率 | 頻率 |
10 | 0.25 | ||
12 | 0.3 | ||
合計 | 40 | 1 |
根據(jù)上面提供的信息,回答下列問題:
(1)統(tǒng)計表中的 , ;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)根據(jù)抽樣調查結果,請估計該小區(qū)答題成績?yōu)?/span>“級”的有多少人?
(4)該社區(qū)有2名男管理員和2名女管理員,現(xiàn)從中隨機挑選2名管理員參加“社區(qū)防控”宣傳活動,請用樹狀圖法或列表法求出恰好選中“1男1女”的概率.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=6,BE=8,DE=10.
(1)求BC的長;
(2)若∠CBE=36°,求∠ADC.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD,小明與同學們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為53°,沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°,已知山坡AB的坡度,AB=10米,AE=21米,求廣告牌CD的高度.(測角器的高度忽略不計,參考數(shù)據(jù):tan53°≈,cos53°≈0.60)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“穿越千古帝鄉(xiāng)·感悟盛世漢風”,為拓寬同學們的視野,體驗漢文化,我校七年級赴襄陽研學旅行.安排住宿時,為了安全考慮,學校包租一棟旅館,若4人一間房,還有76人無法入住,若5人一間房,還有一間房空2個床位.
(1)求該旅館的房間數(shù)和我校七年級研學人數(shù);
(2)為保證順利出行,學校共租了10輛客車,已知甲種型號客車載客量為45人/輛,乙種型號客車載客量為30人/輛,問:當甲種型號的客車至少租多少輛才能滿足出行要求?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形 ABCD 中, AC 平分 ∠ DAB , ∠ ADC= ∠ ACB=90° , E 為 AB 的中點,連接 CE , DE . AC 與 DE 相交于點 F .
(1)求證: △ ADF ∽△ CEF ;
(2)若 AD=4 , AB=6 ,求 的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,點D、E分別是邊BC、AB的中點,將△BDE繞著點B旋轉,點D、E旋轉后的對應點分別為點D′、E′,當直線D′E′經過點A時,線段CD′的長為_____.
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