【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三點,其頂點為D,對稱軸是直線l,l與x軸交于點H.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點,求△PBC周長的最小值;
(3)如圖(2),若E是線段AD上的一個動點( E與A、D不重合),過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F,交x軸于點G,設點E的橫坐標為m,△ADF的面積為S.
①求S與m的函數(shù)關系式;
②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此時點E的坐標; 若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;(2);(3)最大值為1,此時點E的坐標為(﹣2,2).
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點,用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可;
(2)根據(jù)BC是定值,得到當PB+PC最小時,△PBC的周長最小,根據(jù)點的坐標求得相應線段的長即可;
(3)設點E的橫坐標為m,表示出E(m,2m+6),F(xiàn)(m,﹣m2﹣2m+3),最后表示出EF的長,從而表示出S于m的函數(shù)關系,然后求二次函數(shù)的最值即可.
解:(1)由題意可知: ,解得: ,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵△PBC的周長為:PB+PC+BC
∵BC是定值,
∴當PB+PC最小時,△PBC的周長最小,
∵點A、點B關于對稱軸I對稱,
∴連接AC交l于點P,即點P為所求的點
∵AP=BP
∴△PBC的周長最小是:PB+PC+BC=AC+BC
∵A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3),
∴AC=3,BC=;
(3)①∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3頂點D的坐標為(﹣1,4)
∵A(﹣3,0)
∴直線AD的解析式為y=2x+6
∵點E的橫坐標為m,
∴E(m,2m+6),F(m,﹣m2﹣2m+3)
∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣(2m+6)=﹣m2﹣4m﹣3
∴S=S△DEF+S△AEF=EFGH+EFAC=EFAH=(﹣m2﹣4m﹣3)×2=﹣m2﹣4m﹣3;
②S=﹣m2﹣4m﹣3
=﹣(m+2)2+1;
∴當m=﹣2時,S最大,最大值為1
此時點E的坐標為(﹣2,2).
“點睛”此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值,根據(jù)點的坐標表示出線段的長是表示出三角形的面積的基礎.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】判斷題,對的畫“√”錯的畫“×”
(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形(______)
(2)一條對角線垂直另一條對角線的四邊形是菱形(_____)
(3)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形(_____)
(4)對角線相等的四邊形是菱形(_____)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是( )
A. 對角線互相平分 B. 對角線相等 C. 內(nèi)角和為360 D. 對角線平分內(nèi)角
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一次數(shù)學興趣小組活動中,李燕和劉凱兩位同學設計了如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤做游戲(每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個扇形,并在每個扇形區(qū)域內(nèi)標上數(shù)字).游戲規(guī)則如下:兩人分別同時轉(zhuǎn)動甲、乙轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止后,若指針所指區(qū)域內(nèi)兩數(shù)和小于12,則李燕獲勝;若指針所指區(qū)域內(nèi)兩數(shù)和等于12,則為平局;若指針所指區(qū)域內(nèi)兩數(shù)和大于12,則劉凱獲勝(若指針停在等分線上,重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向某一份內(nèi)為止).
(1)請用列表的方法表示出上述游戲中兩數(shù)和的所有可能的結果;
(2)分別求出李燕和劉凱獲勝的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列語句正確的是( )
A. 線段繞著它的中點旋轉(zhuǎn)180°后與原線段重合,那么線段是中心對稱圖形
B. 正三角形繞著它的三邊中線的交點旋轉(zhuǎn)120°后與原圖形重合,則正三角形是中心對稱圖形
C. 正方形繞著它的對角線交點旋轉(zhuǎn)90°后與原圖形重合,則正方形是中心對稱圖形
D. 正五角星繞著它的中心旋轉(zhuǎn)72°后與原圖形重合,則正五角星是中心對稱圖形
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列計算正確的是( 。
A. (x+y)2=x2+y2B. (﹣x+y)2=x2+2xy+y2
C. (x﹣2y)(x+2y)=x2﹣2y2D. (x﹣1)(﹣x﹣1)=1﹣x2
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