【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD為∠CAB的平分線,點O在AB上,⊙O經(jīng)過點A,D兩點,與AC,AB分別交于點E,F
(1)求證:BC與⊙O相切;
(2)若AC=8,AF=10,求AD和BC的長.
【答案】(1)見解析;(2)AD=, .
【解析】
(1)連接OD.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODA=∠OAD.根據(jù)角平分線的定義得到∠CAD=∠BAD.根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ODB=∠ACB=90°,于是得到結(jié)論;
(2)連接DF.根據(jù)圓周角定理得到∠ADF=90°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AD=,由勾股定理得到CD==4.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
(1)證明:連接OD.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD.
又∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD.
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∴∠ODB=∠ACB=90°,
∴OD⊥BC,
∴BC與⊙O相切;
(2)解:連接DF.
∵AF為直徑,
∴∠ADF=90°,
∴∠ACD=∠ADF.
又∵∠CAD=∠FAD,
∴△CAD∽△DAF,
∴,
∴AD2=CAAF=80,
∴AD=,
在Rt△ACD中,CD==4.
∵OD∥AC,
∴△BOD∽△BAC,
∴,
∴,
∴BC=.
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【題目】線段AB在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,端點A、B為格點(即網(wǎng)格線的交點).
(1)線段AB的長度為________;
(2)在網(wǎng)格中找出一個格點C,使得△ABC是以AB為直角邊的等腰直角三角形,請畫出△ABC;
(3)在網(wǎng)格中找出一個格點D,使得△ABD是以AB為斜邊的等腰直角三角形,請畫出△ABD.
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【題目】如圖,以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊AC相交于點D,BC是⊙O的切線,E為BC的中點,連接AE、DE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)設(shè)△CDE的面積為 S1,四邊形ABED的面積為 S2.若 S2=5S1,求tan∠BAC的值;
(3)在(2)的條件下,若AE=3,求⊙O的半徑長.
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【題目】已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點E,∠ABC的平分線交AD于點F.
(1)求證:四邊形ABEF是菱形;
(2)若AE=6,BF=8,平行四邊形ABCD的面積是36,求AD的長.
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【題目】如圖,已知正方形ABCD,點E,F分別在CD,BC上,且∠EAF=∠DAE+∠BAF,則的值為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,四條直線l1:y1=x,l2:y2=x,l3:y3=﹣x,l4:y4=﹣x,OA1=1,過點A1作A1A2⊥x軸交l1于點A2,再過點A2作A2A3⊥l1,交l2于點A3,再過點A3作A3A4⊥l2交y軸于點A4,……,則點A2020的坐標(biāo)為_____.
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【題目】某小區(qū)在一塊矩形ABCD的空地上劃一塊四邊形MNPQ進行綠化,為了綠化環(huán)境又節(jié)省成本.如圖,已知矩形的邊BC=200m,邊AB=a m(a為不大于200的常數(shù)),四邊形MNPQ的頂點在矩形的邊上,且AM=BN=CP=DQ=x m,設(shè)四邊形MNPQ的面積為S m2
(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量x的取值范圍;
(2)若a=120,求S的最小值,并求出此時x的值;
(3)若a=200,且每平方米綠化費用需50元,則此時綠化最低費用為______萬元.
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【題目】某市某幼兒園六一期間舉行親子游戲,主持人請三位家長分別帶自己的孩子參加游戲,主持人準(zhǔn)備把家長和孩子重新組合完成游戲,A、B、C分別表示三位家長,他們的孩子分別對應(yīng)的是a、b、c.
(1)若主持人分別從三位家長和三位孩子中各選一人參加游戲,恰好是A、a的概率是多少(直接寫出答案)
(2)若主持人先從三位家長中任選兩人為一組,再從孩子中任選兩人為一組,四人共同參加游戲,恰好是兩對家庭成員的概率是多少.(畫出樹狀圖或列表)
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【題目】如圖,AC是的直徑,AB與相切于點A,四邊形ABCD是平行四邊形,BC交于點E.
判斷直線CD與的位置關(guān)系,并說明理由;
若的半徑為5cm,弦CE的長為8cm,求AB的長.
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