Question

9．對稱軸x=1的拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A、B，其中點A（-1，0）
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線BC的解析式；
（3）設(shè)點Q是線段BC上的任意一點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸方程和點A的坐標來求該拋物線的解析式；
（2）由（1）中的拋物線解析式求得點B、C的坐標，據(jù)此求得直線BC的解析式；
（3）首先利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進而求出直線AC的解析式，再利用QD=-x-3-（x²+2x-3），進而求出最值．

解答 解：（1）依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}=1}\\{0=1-b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
則該拋物線的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）由（1）中的解析式得到：y=x²-2x-3=（x-3）（x+1），則B（3，0）．
令x=0，則y=-3，
故C（0，-3）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+t（k≠0），則
$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+t}\\{-3=t}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{t=-3}\end{array}\right.$．
所以直線BC的解析式為：y=x-3；

（3）設(shè)點Q的坐標為（x．y），0≤x≤3．
則有QD=（x²-2x+3）-（x-3）=-x²-3x=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∵-3≤-$\frac{3}{2}$≤0，
∴當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時，QD有最大值$\frac{9}{4}$．
∴線段QD長度的最大值為$\frac{9}{4}$．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)最值問題以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式等知識，正確得出QD的解析式是解題關(guān)鍵．