Question

【題目】如圖，在△ABC中，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM、PN、MN，則下列結論：①PM＝PN；②；③若∠ABC＝60°，則△PMN為等邊三角形；④若∠ABC＝45°，則BN＝PC．其中正確的是（　　）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確；先證明△ABM∽△ACN，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可判斷②正確；如果△PMN為等邊三角形，求得∠MPN＝60°，推出△CPM是等邊三角形，得到△ABC是等邊三角形，而△ABC不一定是等邊三角形，故③錯誤；當∠ABC＝45°時，∠BCN＝45°，由P為BC邊的中點，得出BN＝PB＝PC，判斷④正確．

解：①∵BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，

∴PM＝BC，PN＝BC，

∴PM＝PN，正確；

②在△ABM與△ACN中，

∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°，

∴△ABM∽△ACN，

∴，

∴，②正確；

③∵∠ABC＝60°，

∴∠BPN＝60°，

如果△PMN為等邊三角形，

∴∠MPN＝60°，

∴∠CPM＝60°，

∴△CPM是等邊三角形，

∴∠ACB＝60°，

則△ABC是等邊三角形，

而△ABC不一定是等邊三角形，故③錯誤；

④當∠ABC＝45°時，∵CN⊥AB于點N，

∴∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，

∴BN＝CN，

∵P為BC邊的中點，

∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形

∴BN＝PB＝PC，故④正確．

故選：B．