【題目】如圖,在△ABC中,BM⊥AC于點M,CN⊥AB于點N,P為BC邊的中點,連接PM、PN、MN,則下列結(jié)論:①PM=PN;②;③若∠ABC=60°,則△PMN為等邊三角形;④若∠ABC=45°,則BN=PC.其中正確的是( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
【答案】B
【解析】
根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可判斷①正確;先證明△ABM∽△ACN,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可判斷②正確;如果△PMN為等邊三角形,求得∠MPN=60°,推出△CPM是等邊三角形,得到△ABC是等邊三角形,而△ABC不一定是等邊三角形,故③錯誤;當(dāng)∠ABC=45°時,∠BCN=45°,由P為BC邊的中點,得出BN=PB=PC,判斷④正確.
解:①∵BM⊥AC于點M,CN⊥AB于點N,P為BC邊的中點,
∴PM=BC,PN=BC,
∴PM=PN,正確;
②在△ABM與△ACN中,
∵∠A=∠A,∠AMB=∠ANC=90°,
∴△ABM∽△ACN,
∴,
∴,②正確;
③∵∠ABC=60°,
∴∠BPN=60°,
如果△PMN為等邊三角形,
∴∠MPN=60°,
∴∠CPM=60°,
∴△CPM是等邊三角形,
∴∠ACB=60°,
則△ABC是等邊三角形,
而△ABC不一定是等邊三角形,故③錯誤;
④當(dāng)∠ABC=45°時,∵CN⊥AB于點N,
∴∠BNC=90°,∠BCN=45°,
∴BN=CN,
∵P為BC邊的中點,
∴PN⊥BC,△BPN為等腰直角三角形
∴BN=PB=PC,故④正確.
故選:B.
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【題目】如圖,四邊形中,,,,將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得 ,連接 ,.
(1)求證:≌;
(2)求證:;
(3)若,點在四邊形內(nèi)部運動,且滿足,求點運動路徑的長度.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于第一、三象限內(nèi)的,兩點,與軸交于點,過點作軸,垂足為點,,,點的縱坐標(biāo)為.
(1)求點的坐標(biāo);
(2)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(3)連接,求四邊形的面積.
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【題目】如圖①,已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交于點A、C,以O(shè)A、OC為邊在第一象限內(nèi)作長方形OABC.
(1)求點A、C的坐標(biāo);
(2)將△ABC對折,使得點A的與點C重合,折痕交AB于點D,求直線CD的解析式(圖②);
(3)在坐標(biāo)平面內(nèi),是否存在點P(除點B外),使得△APC與△ABC全等?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,直線y=﹣x+2與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象交于A(a,3),B(3,b)兩點,過點A作AC⊥x軸于點C,過點B作BD⊥x軸于點D.
(1)求a,b的值及反比例函數(shù)的解析式;
(2)若點P在直線y=﹣x+2上,且S△ACP=S△BDP,請求出此時點P的坐標(biāo);
(3)在x軸正半軸上是否存在點M,使得△MAB為等腰三角形?若存在,請直接寫出M點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】小明家所在居民樓的對面有一座大廈AB,高為74米,為測量居民樓與大廈之間的距離,小明從自己家的窗戶C處測得大廈頂部A的仰角為37°,大廈底部B的俯角為48°.
(1)求∠ACB的度數(shù);
(2)求小明家所在居民樓與大廈之間的距離.(參考數(shù)據(jù):sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈,sin48°≈,cos48°≈,tan48°≈)
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【題目】如圖,拋物線交軸于、兩點,經(jīng)過點,交軸于點.
(1)求拋物線的解析式及點的坐標(biāo);
(2)求的面積;
(3)若點在直線上,點在平面上,是否存在這樣的點,使得以點為頂點的四邊形為菱形?若存在,請直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點,射線與反比例函數(shù)的圖象的另一個交點為,射線與軸交于點,與軸交于點軸, 垂足為.
求反比例函數(shù)的解析式;
求的長
在軸上是否存在點,使得與相似,若存在,請求出滿足條件點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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【題目】小明和小亮用三枚質(zhì)地均勻的硬幣做游戲,游戲規(guī)則是:同時拋擲這三枚硬幣,出現(xiàn)兩枚正面向上,一枚正面向下,則小明贏;出現(xiàn)兩枚正面向下,一枚正面向上,則小亮贏.這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎?請你用樹狀圖或列表法說明理由.
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