【題目】折紙是一種許多人熟悉的活動(dòng).近些年,經(jīng)過(guò)許多人的努力,已經(jīng)找到了多種將正方形折紙的一邊三等分的精確折法,下面探討其中的一種折法:
(綜合與實(shí)踐)
操作一:如圖1,將正方形紙片ABCD對(duì)折,使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合,點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,再將正方形紙片ABCD展開,得到折痕MN;
操作二:如圖2,將正方形紙片ABCD的右上角沿MC折疊,得到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為D′;
操作三:如圖3,將正方形紙片ABCD的左上角沿MD′折疊再展開,折痕MD′與邊AB交于點(diǎn)P;
(問(wèn)題解決)
請(qǐng)?jiān)趫D3中解決下列問(wèn)題:
(1)求證:BP=D′P;
(2)AP:BP= ;
(拓展探究)
(3)在圖3的基礎(chǔ)上,將正方形紙片ABCD的左下角沿CD′折疊再展開,折痕CD′與邊AB交于點(diǎn)Q.再將正方形紙片ABCD過(guò)點(diǎn)D′折疊,使點(diǎn)A落在AD邊上,點(diǎn)B落在BC邊上,然后再將正方形紙片ABCD展開,折痕EF與邊AD交于點(diǎn)E,與邊BC交于點(diǎn)F,如圖4.試探究:點(diǎn)Q與點(diǎn)E分別是邊AB,AD的幾等分點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)見解析;(2)2:1;(3)點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn),點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn),理由見解析
【解析】
(1)如圖1,連接PC,根據(jù)正方形的性質(zhì)、HL定理證明△CD′P≌△CBP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論;
(2)設(shè)BP=x,根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理列出方程,解方程即可;
(3)如圖2,連接QM,證明Rt△AQM≌Rt△D′QM(HL),得到AQ=D′Q,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AQ=QD′=y,根據(jù)勾股定理列出方程,解方程即可.
(1)證明:如圖1,連接PC.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,
∴∠MD′C=∠D=90°,
∴∠CD′P=∠B=90°,
在Rt△CD′P和Rt△CBP中,
,
∴Rt△CD′P≌Rt△CBP(HL),
∴BP=D′P;
(2)解:設(shè)正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為1.則AM=DM=D′M=.
設(shè)BP=x,則MP=MD′+D′P=DM+BP=+x,AP=1﹣x,
在Rt△AMP中,根據(jù)勾股定理得AM2+AP2=MP2.
∴()2+(1﹣x)2=(+x)2,
解得x=,
∴BP=,AP=,
∴AP:BP=2:1,
故答案為:2:1.
(3)解:點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn),點(diǎn)E是AD邊的五等分點(diǎn).
理由:如圖2,連接QM.
∴∠QD′M=180°﹣∠MD′C=90°,
∴∠QD′M=∠A=90°.
在Rt△AQM和Rt△D′QM中,
,
∴Rt△AQM≌Rt△D′QM(HL),
∴AQ=D′Q,
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AQ=QD′=y,
則QP=AP﹣AQ=﹣y.
在Rt△QPD′中,根據(jù)勾股定理得QD′2+D′P2=QP2.
∵D′P=BP=,
∴y2+()2=(﹣y)2,
解得y=.
∴AQ:AB=1:4,即點(diǎn)Q是AB邊的四等分點(diǎn),
∵EF∥AB,
∴,即,
解得AE=.
∴點(diǎn)E為AD的五等分點(diǎn).
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果一個(gè)圓上所有的點(diǎn)都在一個(gè)角的內(nèi)部或邊上,那么稱這個(gè)圓為該角的角內(nèi)圓.特別地,當(dāng)這個(gè)圓與角的至少一邊相切時(shí),稱這個(gè)圓為該角的角內(nèi)相切圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)E,F分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上.
⑴ 分別以點(diǎn)(1,0),(1,1),(3,2)為圓心,1為半徑作圓,得到⊙,⊙和⊙,其中是的角內(nèi)圓的是 ;
⑵ 如果以點(diǎn)(,2)為圓心,以1為半徑的⊙為的角內(nèi)圓,且與一次函數(shù)圖像有公共點(diǎn),求的取值范圍;
⑶ 點(diǎn)在第一象限內(nèi),如果存在一個(gè)半徑為1且過(guò)點(diǎn)(2,)的圓為的角內(nèi)相切圓,直接寫出的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形紙片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處,折痕為PQ,過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F,連接BF.
(1)求證:四邊形BFEP為菱形;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí),折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng);
①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖2),求菱形BFEP的邊長(zhǎng);
②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動(dòng),求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】解密數(shù)學(xué)魔術(shù):魔術(shù)師請(qǐng)觀眾心想一個(gè)數(shù),然后將這個(gè)數(shù)按以下步驟操作:
魔術(shù)師能立刻說(shuō)出觀眾想的那個(gè)數(shù).
(1)如果小玲想的數(shù)是,請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算幫助她告訴魔術(shù)師的結(jié)果;
(2)如果小明想了一個(gè)數(shù)計(jì)算后,告訴魔術(shù)師結(jié)果為85,那么魔術(shù)師立刻說(shuō)出小明想的那個(gè)數(shù)是:__________;
(3)觀眾又進(jìn)行了幾次嘗試,魔術(shù)師都能立刻說(shuō)出他們想的那個(gè)數(shù).若設(shè)觀眾心想的數(shù)為,請(qǐng)你按照魔術(shù)師要求的運(yùn)算過(guò)程列代數(shù)式并化簡(jiǎn),再用一句話說(shuō)出這個(gè)魔術(shù)的奧妙.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在一單位為1的方格紙上,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7,…,都是斜邊在x軸上、斜邊長(zhǎng)分別為2,4,6,…的等腰直角三角形.若△A1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(2,0),A2(1,﹣1),A3(0,0),則依圖中所示規(guī)律,A2019的坐標(biāo)為_____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊AB=20,面積為320,∠BAD<90°,⊙O與邊AB,AD都相切,AO=10,則⊙O的半徑長(zhǎng)等于( )
A.5 B.6 C.2 D.3
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是拋物線圖象的一部分,拋物線的頂點(diǎn)是,對(duì)稱軸是直線,且拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為;直線的解析式為.下列結(jié)論:①;②;③方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;④拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)是;⑤當(dāng)時(shí),則.其中正確的是( )
A.①②B.①③⑤C.①④D.①④⑤
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,AC是半圓內(nèi)一條弦,點(diǎn)D是的中點(diǎn),DB交AC于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)A作半圓的切線與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,連接AD.點(diǎn)E是AB上的一動(dòng)點(diǎn),DE與AC相交于點(diǎn)F.
(1)求證:MD=GD;
(2)填空:①當(dāng)∠DEA= 時(shí),AF=FG;
②若∠ABD=30°,當(dāng)∠DEA= 時(shí),四邊形DEBC是菱形.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代重要建筑的室內(nèi)上方,通常會(huì)在正中部位做出向上凸起的穹窿狀裝飾,稱為藻井.北京故宮博物院內(nèi)的太和殿上方即有藻井(圖1),全稱為龍鳳角蟬云龍隨瓣枋套方八角渾金蟠龍?jiān)寰故境鼍赖难b飾空間和造型藝術(shù).從分層構(gòu)造上來(lái)看,太和殿藻井由三層組成:最下層為方井,中層為八角井,上層為圓井.圖2是由圖1抽象出的平面圖形.若最下層方井邊長(zhǎng)為1,在圖2中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自圓內(nèi)的概率為( )
圖1 圖2
A.B.C.D.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com