Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與：交于點(diǎn)，分別與軸、軸交于點(diǎn)、．

（1）分別求出點(diǎn)、、的坐標(biāo)；

（2）若是線段上的點(diǎn)，且的面積為12，求直線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)是射線上的點(diǎn)．

①如圖2，過點(diǎn)作，且使四邊形為菱形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

②在平面內(nèi)是否存在其它點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（6，3）．B（12，0）．C（0，6），（2）y＝x＋6．（3）①Q（3,-3）,②（3，3）,（6,6）.

【解析】

（1）構(gòu)建方程組確定交點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)即可．

（2）設(shè)D（m，m），利用三角形的面積公式，構(gòu)建方程求出m的值，再利用待定系數(shù)法即可解決問題．

（3）①構(gòu)建OC＝PC，設(shè)P（m，m），利用兩點(diǎn)間距離公式，構(gòu)建方程求出m即可．

②當(dāng)OC為菱形的對(duì)角線時(shí)，OC垂直平分線段PQ，利用對(duì)稱性解決問題即可;當(dāng)PC為對(duì)角線時(shí),OQ⊥CP, 利用對(duì)稱性解決問題即可.

解：（1）由

解得

∴A（6，3）．

∵與分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、C，

∴C（0，6），B（12，0）．

（2）設(shè)D（m，m），由題意：OC＝6，△COD的面積為12，

∴×6×m＝12，

∴m＝4，

∴D（4，2），∵C（0，6），

設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋b，

則有

解得

∴直線CD的解析式為y＝x＋6．

（3）①∵四邊形OCPQ是菱形，

∴OC＝PC＝6，

設(shè)P（m，m＋6），

∴m2＋m2＝36，

∴m＝3或3，

∴P（3,-3+6），

∵PQ∥OC，PQ＝OC，

∴Q（3,-3）

②如圖，當(dāng)OC為菱形的對(duì)角線時(shí)，OC垂直平分線段PQ，

易知P′（3，3），Q′（3，3），

∴滿足條件的點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為（3，3）．

（3，3）

如下圖,當(dāng)PC為對(duì)角線時(shí),OQ⊥CP,

易知△OCP是等腰直角三角形,

∴四邊形OCQP是正方形,此時(shí)Q的坐標(biāo)為（6,6）．