【題目】某數(shù)學活動小組在一次活動中,對一個數(shù)學問題作如下探究:
(問題發(fā)現(xiàn))如圖1,正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上,若點E在弧AB上,F是DE上的一點,且DF=BE.試說明:△ADF≌△ABE;
(變式探究)如圖2,若點E在弧AD上,過點A作AM⊥BE,請說明線段BE、DE、AM之間滿足等量關系:BE﹣DE=2AM;
(解決問題)如圖3,在正方形ABCD中,CD=2,若點P滿足PD=2,且∠BPD=90°,請直接寫出點A到BP的距離.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)點A到BP的距離是﹣1或+1,理由見解析
【解析】
(1)中易證AD=AB,EB=DF,所以只需證明∠ADF=∠ABE,利用同弧所對的圓周角相等不難得出,從而證明全等;
(2)中易證△AEF是等腰直角三角形,所以AF=AE,因為AM⊥BE,所以FM=ME=AM,EF=2AM,EF=BEBF=BEDE,得出結論;
(3)由PD=2可得:點P在以點D為圓心,2為半徑的圓上;由∠BPD=90°可得:點P在以BD為直徑的圓上.顯然,點P是這兩個圓的交點,由于兩圓有兩個交點,接下來需對兩個位置分別進行討論.然后,添加適當?shù)妮o助線,借助(2)中結論,即可解決問題.
(1)證明:在正方形ABCD中,AB=AD,
∠ABE與∠ADE都對應弧AE,
∴∠ABE=∠ADE,
在△ADF和△ABE中,
,
∴△ADF≌△ABE(SAS);
(2)證明:在BE上取點F,使BF=DE,連接AF,
由(1)△ADE≌△ABF,
∴BF=DE,AE=AF,∠DAE=∠BAF,
在正方形ABCD中,∠BAD=90°,
∴∠BAF+∠DAF=90°,
∴∠DAE+∠DAF=90°,
∴∠EAF=90°,
∴△EAF是等腰直角三角形三角形,
∵AM⊥BE,
∴FM=ME=AM,
∴EF=2AM,
∵EF=BE﹣BF=BE﹣DE,
∴BE﹣DE=2AM;
(3)點A到BP的距離是﹣1或+1,
理由如下:
∵PD=2,
∴點P在以點D為圓心,2為半徑的圓上,
∵∠BPD=90°,
∴點P在以BD為直徑的圓上,
∴點P是這兩圓的交點,
①當點P在如圖3①所示位置時,
連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,
過點A作AE⊥AP,交BP于點E,如圖3①,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ADB=45°.AB=AD=DC=BC=2,∠BAD=90°,
∴BD=4.
∵DP=2,
∴BP=2,
∵∠BPD=∠BAD=90°,
∴A、P、D、B在以BD
∴∠APB=∠ADB=45°,
∴△PAE是等腰直角三角形,
又∵△BAD是等腰直角三角形,點B、E、P共線,AH⊥BP,
∴由(2)中的結論可得:BP=2AH+PD,
2=2AH+2,
∴AH=﹣1;
②當點P在如圖3②所示位置時,
連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,
過點A作AE⊥AP,交PB的延長線于點E,如圖3②,
同理可得:BP=2AH﹣PD,
2=2AH﹣2,
∴AH=+1,
綜上所述:點A到BP的距離為﹣1或+1.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某食品廠生產一種半成品食材,成本為2元/千克,每天的產量(百千克)與銷售價格(元/千克)滿足函數(shù)關系式,從市場反饋的信息發(fā)現(xiàn),該半成品食材每天的市場需求量(百千克)與銷售價格(元/千克)滿足一次函數(shù)關系,部分數(shù)據(jù)如表:
銷售價格(元/千克) | 2 | 4 | …… | 10 |
市場需求量(百千克) | 12 | 10 | …… | 4 |
已知按物價部門規(guī)定銷售價格不低于2元/千克且不高于10元/千克.
(1)直接寫出與的函數(shù)關系式,并注明自變量的取值范圍;
(2)當每天的產量小于或等于市場需求量時,這種半成品食材能全部售出,而當每天的產量大于市場需求量時,只能售出符合市場需求量的半成品食材,剩余的食材由于保質期短而只能廢棄.
①當每天的半成品食材能全部售出時,求的取值范圍;
②求廠家每天獲得的利潤y(百元)與銷售價格的函數(shù)關系式;
(3)在(2)的條件下,當為______元/千克時,利潤有最大值;若要使每天的利潤不低于24(百元),并盡可能地減少半成品食材的浪費,則應定為______元/千克.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明和小亮用6張背面完全相同的紙牌進行摸牌游戲,游戲規(guī)則如下:將牌面分別標有數(shù)字1、3、6的三張紙牌給小明,將牌面分別標有數(shù)字2、4、5的三張紙牌給小亮,小明小亮分別將紙牌背面朝上,從各自的三張紙牌中隨機抽出一張,并將抽出的兩張卡片上的數(shù)字相加,如果和為偶數(shù),則小明獲勝;如果和為奇數(shù),則小亮獲勝.
(1)小明抽到標有數(shù)字6的紙牌的概率為 ;
(2)請用樹狀圖或列表的方法求小亮獲勝的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,D為的中點,連接OD交弦AC于點F,過點D作DE∥AC,交BA的延長線于點E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)連接CD,若OA=AE=4,求四邊形ACDE的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】攀枝花得天獨厚,氣候宜人,農產品資源極為豐富,其中晚熟芒果遠銷北上廣等大城市.某水果店購進一批優(yōu)質晚熟芒果,進價為10元/千克,售價不低于15元/千克,且不超過40元/每千克,根據(jù)銷售情況,發(fā)現(xiàn)該芒果在一天內的銷售量(千克)與該天的售價(元/千克)之間的數(shù)量滿足如下表所示的一次函數(shù)關系.
銷售量(千克) | … | 32.5 | 35 | 35.5 | 38 | … |
售價(元/千克) | … | 27.5 | 25 | 24.5 | 22 | … |
(1)某天這種芒果售價為28元/千克.求當天該芒果的銷售量
(2)設某天銷售這種芒果獲利元,寫出與售價之間的函數(shù)關系式.如果水果店該天獲利400元,那么這天芒果的售價為多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上,點M1,M2,M3,…Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中點,△B1C1M1的面積為S1,△B2C2M2的面積為S2,…△BnCnMn的面積為Sn,則Sn= .(用含n的式子表示)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(9分)如圖所示,某數(shù)學活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度,他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30,朝大樹方向下坡走6米到達坡底A處,在A處測得大樹頂端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°,求大樹的高度. (結果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,≈1.73)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】麗水苛公司將“麗水山耕”農副產品運往杭州市場進行銷售.記汽車行駛時間為t小時,平均速度為v千米/小時(汽車行駛速度不超過100千米/小時).根據(jù)經驗,v,t的一組對應值如下表:
v(千米/小時) | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
t(小時) | 4.00 | 3.75 | 3.53 | 3.33 | 3.16 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出平均速度v(千米/小時)關于行駛時間t(小時)的函數(shù)表達式;
(2)汽車上午7:30從麗水出發(fā),能否在上午10:00之前到達杭州市?請說明理由:
(3)若汽車到達杭州市場的行駛時間t滿足3.5≤t≤4,求平均速度v的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點P為矩形ABCD的AB邊上一動點,將△ADP沿著DP折疊,點A落在點A'處,連接CA',已知AB=10,AD=6,若以點P,B,C,A'為端點的線段(不再另外連接線段)構成的圖形為直角三角形或特殊的平行四邊形時,AP的長為 .
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com