【題目】如圖,以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交AC邊于點(diǎn)D,且過點(diǎn)D的⊙O的切線DE平分BC邊,交BC于點(diǎn)E.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)當(dāng)∠A= 時(shí),以點(diǎn)O、B、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是正方形;
(3)以點(diǎn)O、B、E、D為頂點(diǎn)的四邊形 (可能、不可能)為菱形.
【答案】(1)證明詳見解析;(2)45°;(3)不可能.
【解析】
試題分析:(1)要證BC是⊙O的切線,就要證OB⊥BC,只要證∠OBE=90°即可,首先作輔助線,連接OD、OE,由已知得OE為△ABC的中位線,OE∥AC,從而證得△ODE≌△OBE,推出∠ODE=∠OBE,又DE是⊙O的切線,所以得∠OBE=90°,即OB⊥BC,得證;
(2)由題意使四邊形OBED是正方形,即得到OD=BE,又由已知BE=CE,BC=2BE,AB=2OD,所以AB=BC,即△ABC為等腰三角形,進(jìn)而得出以點(diǎn)O、B、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是正方形;
(3)直接利用三角形的中位線的性質(zhì)結(jié)合菱形的判定方法進(jìn)而得出答案.
試題解析:(1)連接OD、OE,
∵O為AB的中點(diǎn),E為BC的中點(diǎn),
∴OE為△ABC的中位線,
∴OE∥AC(三角形中位線性質(zhì)),
∴∠DOE=∠ODA,∠BOE=∠A(平行線性質(zhì)),
∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA,
∴∠DOE=∠BOE(等量代換),
在△ODE和△OBE中,
OD=OB,∠DOE=∠BOE,OE=OE,
∴△ODE≌△OBE(SSS)
∴∠ODE=∠OBE,
∵DE是⊙O的切線,
∴∠ODE=∠OBE=90°,
∴OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切線.
(2)當(dāng)∠A=∠C=45°時(shí),四邊形OBDE是正方形,證明如下:
如圖2,連接BD,
∵AB是⊙O的直徑,
∴BD⊥AC(直徑所對(duì)的圓周角為直角),
∵∠A=∠B,
∴AB=BC,
∴D為AC的中點(diǎn)(等腰三角形的性質(zhì)),
∵E為BC的中點(diǎn),
∴DE為△ABC的中位線,
∴DE∥AB,
∵DE為⊙O的切線,
∴OD⊥DE,
∴OD⊥AB,
∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°,
∵OD=OB,
∴四邊形OBED為正方形.
故答案為:45°;
(3)解:∵CE=BE,AD≠CD,
∴DE于OB不平行,
∴以點(diǎn)O、B、E、D為頂點(diǎn)的四邊形不可能是菱形,
故答案為:不可能.
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【題目】2017年5月12日,利用微軟Windows漏洞爆發(fā)的wannaCry勒索病毒,目前已席卷全球150多個(gè)國(guó)家,至少30萬臺(tái)電腦中招,預(yù)計(jì)造成的經(jīng)濟(jì)損失將達(dá)到80億美元,世人再次領(lǐng)教了黑客的厲害,將數(shù)據(jù)80億用科學(xué)記數(shù)法表示為( 。
A. 8×108 B. 8×109 C. 0.8×109 D. 0.8×1010
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【題目】一個(gè)三角形的第一條邊長(zhǎng)為(a+b)cm,第二條邊比第一條邊的2倍長(zhǎng)bcm.則第三條邊x的取值范圍是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC中,CD⊥AB于D,且BD : AD : CD=2 : 3 : 4,
(1)求證:AB=AC;
(2)已知S△ABC=40cm2,如圖2,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1cm的速度沿線段BA向點(diǎn)A 運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止. 設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒),
①若△DMN的邊與BC平行,求t的值;
②若點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn),問在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中,△MDE能否成為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,已知數(shù)軸上點(diǎn)A,B是數(shù)軸上的一點(diǎn),AB=12,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒.
(1)寫出數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù),經(jīng)t秒后點(diǎn)P走過的路程為(用含t的代數(shù)式表示);
(2)若在動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B也出發(fā),并以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),問經(jīng)多少時(shí)間點(diǎn)P就能追上點(diǎn)Q?
(3)若M為AP的中點(diǎn),N為BP的中點(diǎn),點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中,線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,請(qǐng)你畫出圖形,并求出線段MN的長(zhǎng).
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【題目】如圖是用4個(gè)相同的小矩形與1個(gè)小正方形密鋪而成的正方形圖案,已知大正方形的面積為49,小正方形的面積為4,若用x,y(其中x>y)表示小矩形的長(zhǎng)與寬,請(qǐng)觀察圖案,指出以下關(guān)系式中不正確的是( 。
A.x+y=7
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C.x2﹣y2=4
D.4xy+4=49
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【題目】小紅在解關(guān)于x的一元一次方程2a﹣3x=﹣1時(shí),錯(cuò)把“﹣3x”看成了“+3x”,結(jié)果解得x=1.請(qǐng)你幫小紅求出原方程正確的解.
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