Question

【題目】矩形AOBC中，OB＝8，OA＝4．分別以OB，OA所在直線為x軸，y軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系．F是BC邊上一個動點（不與B，C重合），過點F的反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象與邊AC交于點E．

（1）當(dāng)點F運動到邊BC的中點時，求點E的坐標(biāo)；

（2）連接EF、AB，求證：EF∥AB；

（3）如圖2，將△CEF沿EF折疊，點C恰好落在邊OB上的點G處，求此時反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

【答案】（1）E（4，4）；（2）見解析；（3）y＝

【解析】

（1）首先確定點F坐標(biāo)，求出反比例函數(shù)解析式，再根據(jù)解析式求得點E坐標(biāo)即可；

（2）連接AB，分別求出∠EFC，∠ABC的正切值即可解決問題；

（3）先作出輔助線判斷出Rt△MEG∽Rt△BGF，再確定出點E，F坐標(biāo)進(jìn)而EG＝8﹣，GF＝4﹣，求出BD，最后用勾股定理建立方程求出k即可得出結(jié)論；

解：（1）∵四邊形OACB是矩形，OB＝8，OA＝4，

∴C（8，4），

∵點F是BC中點，

∴F（8，2），

∵點F在y＝上，

∴k=16，反比例函數(shù)解析式為y＝

∵點E在反比例函數(shù)圖像上，且E點的縱坐標(biāo)為4，

∴4＝

∴x=4

∴E（4，4）．

（2）連接AB，設(shè)點F（8，a），

∴k＝8a，

∴E（2a，4），

∴CF＝4﹣a，EC＝8﹣2a，

在Rt△ECF中，tan∠EFC＝＝2，

在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝2，

∴tan∠EFC＝tan∠ABC，

∴∠EFC＝∠ABC，

∴EF∥AB．

（3）如圖，

設(shè)將△CEF沿EF折疊后，點C恰好落在OB上的G點處，

∴∠EGF＝∠C＝90°，EC＝EG，CF＝GF，

∴∠MGE+∠FGB＝90°，

過點E作EM⊥OB，

∴∠MGE+∠MEG＝90°，

∴∠MEG＝∠FGB，

∴Rt△MEG∽Rt△BGF，

∴，

∵點E（，4），F（8，），

∴EC＝AC﹣AE＝8﹣，CF＝BC﹣BF＝4﹣，

∴EG＝EC＝8﹣，GF＝CF＝4﹣，

∵EM＝4，

∴，

∴GB＝2，

在Rt△GBF中，GF2＝GB2+BF2，

即：（4﹣）2＝（2）2+（）2，

∴k＝12，

∴反比例函數(shù)表達(dá)式為y＝ ．