【題目】如圖所示,AB 是⊙O 的直徑,P AB 延長線上的一點,PC 切⊙O 于點 C,AD⊥PC, 垂足為 D,弦 CE 平分∠ACB,交 AB 于點 F,連接 AE.

(1)求證:PC=PF;

(2)若 tan∠ABC=,AE=5,求線段 PC 的長

【答案】1見解析;(2)PC=12

【解析】1)由切線得:OC⊥PC,再得平行,由同圓的半徑相等:OA=OC,根據(jù)等邊對等角可得結論;

(2)證明∠PFC=∠PCF,根據(jù)等角對等邊可得結論;

(3)根據(jù)三角函數(shù)的比設未知數(shù),利用勾股定理列方程可得結論.

(1)證明:∵PC 為⊙O 的切線,

OCPC,

ADPC,

ADOC,

∴∠DAC=ACO,

OA=OC,

∴∠OAC=ACO,

∴∠DAC=OAC,

AC 平分∠DAB;

CE 平分∠ACB,

∴∠ACE=BCE,

,

∴∠ABE=ECB,

∵∠BCP+OCB=BCP+OBC=BAC+OBC=90°,

∴∠BCP=BAC,

∵∠BAC=BEC,

∴∠BCP=BEC,

∵∠PFC=BEC+ABE,PCF=ECB+BCP,

∴∠PFC=PCF,

PC=PF;

(2)

AE=BE=5,

又∵AB 是直徑,

∴∠AEB=90°,

AB=BE=10,

OB=OC=5,

∵∠PCB=PAC,P=P,

∴△PCB∽△PAC,

,

tanABC=,

.

PB=2x,則 PC=3x,

RtPOC 中,(2x+5)2=(3x)2+52, 解得 x1=0(舍)x2=4,

x>0,

x=4,

PC=3x=3×4=12.

練習冊系列答案
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