【題目】如圖,已知正方形OEFG的頂點(diǎn)O與正方形ABCD的中心O重合,若正方形OEFG繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn).
(1)探究:在旋轉(zhuǎn)的過程中線段BE與線段CG有什么數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系?證明你的結(jié)論;
(2)若正方形ABCD的邊長為a,探究:在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形OMCN的面積是否發(fā)生變化?若不變化求其面積,若變化指出變化過程.
【答案】(1)BE=CG,BE⊥CG,理由見解析;(2)不發(fā)生變化,a2.
【解析】
(1)連接OB、OC,延長GC交BE于T點(diǎn),交OE于H點(diǎn),根據(jù)四邊形ABCD、EFGO是正方形,可以得到OG=OE,OB=OC,∠EOB=∠GOC,則△OBE≌△OCG,得到BE=CG,利用對頂角和等量代換可得到∠THE=90°,即BE⊥CG;
(2)利用ASA定理證明△OBM≌△OCN,得到S△OCN=S△OBM,則四邊形OMCN和面積等于△BOC的面積,則無論怎么旋轉(zhuǎn)OMCN的面積都是不變的.
解:(1)BE=CG,BE⊥CG,理由如下:
連接OB、OC,延長GC交BE于T點(diǎn),交OE于H點(diǎn),
∵O是正方形的中心,∴OB=OC.
∵∠BOE+∠MOC=90°,∠COG+∠MOC=90°,
∴∠BOE=∠COG.
又OE=OG,
∴△OBE≌△OCG(SAS).
∴BE=CG,∠BEO=∠CGO.
∵∠OHG+∠CGO=90°,∠OHG=∠EHT,
∴∠EHT+∠BEO=90°,即∠HTE=90°,
所以GC⊥BE.
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形OMCN的面積不發(fā)生變化,理由如下:
在△OBM和△OCN中
∴△OBM≌△OCN(ASA)
∴四邊形OMCN的面積=△OMC面積+△OCN面積=△OMC面積+△OBM面積=△OBC面積.
∵△OBC面積=a2.
所以在旋轉(zhuǎn)過程中四邊形OMCN的面積不發(fā)生變化.
故答案為:(1)BE=CG,BE⊥CG,理由見解析;(2)不發(fā)生變化,a2.
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【題目】已知:四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn),EF過點(diǎn)O且與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F,連接EC、AF.
(1)求證:DF=EB;(2)AF與圖中哪條線段平行?請指出,并說明理由.
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【題目】已知:如圖,反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象交
于點(diǎn)A(1,4)、點(diǎn)B(-4,n).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△OAB的面積;
(3)直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣2x+4與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),動點(diǎn)C在x軸正半軸上,⊙D為△AOC的外接圓,射線OD與直線AB交于點(diǎn)E.
(1)如圖①,若OE=DE,求的值;
(2)如圖②,當(dāng)∠ABC=2∠ACB時(shí),求OC的長;
(3)點(diǎn)C由原點(diǎn)向x軸正半軸運(yùn)動過程中,設(shè)OC的長為a,
①用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)E的橫坐標(biāo)xE;②若xE=BC,求a的值.
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【題目】已知反比例函數(shù)(k為常數(shù),k≠1).
(Ⅰ)其圖象與正比例函數(shù)y=x的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為P,若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2,求k的值;
(Ⅱ)若在其圖象的每一支上,y隨x的增大而減小,求k的取值范圍;
(Ⅲ)若其圖象的一支位于第二象限,在這一支上任取兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),當(dāng)y1>y2時(shí),試比較x1與x2的大。
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【題目】如圖,一次函數(shù)y1=﹣x﹣1的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)圖象的一個(gè)交點(diǎn)為M(﹣2,m).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)y2>y1時(shí),求x的取值范圍;
(3)求點(diǎn)B到直線OM的距離.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y1=﹣x﹣1的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)圖象的一個(gè)交點(diǎn)為M(﹣2,m).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)y2>y1時(shí),求x的取值范圍;
(3)求點(diǎn)B到直線OM的距離.
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【題目】已知圓O的半徑長為2,點(diǎn)A、B、C為圓O上三點(diǎn),弦BC=AO,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),
(1)如圖,連接AC、OD,設(shè)∠OAC=α,請用α表示∠AOD;
(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)B為的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)A、D之間的距離:
(3)如果AD的延長線與圓O交于點(diǎn)E,以O為圓心,AD為半徑的圓與以BC為直徑的圓相切,求弦AE的長.
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【題目】現(xiàn)有四張質(zhì)地均勻,大小完全相同的卡片,在其正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣1,﹣2,2,3,把卡片背面朝上洗勻,從中隨機(jī)抽出一張后,不放回,再從中隨機(jī)抽出一張,則兩次抽出的卡片所標(biāo)數(shù)字之和為正數(shù)的概率為( 。
A. B. C. D.
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