【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AD上一點(diǎn),AB=8,BE=BC=10,動(dòng)點(diǎn)P在線段BE上(與點(diǎn)B、E不重合),點(diǎn)Q在BC的延長線上,PE=CQ,PQ交EC于點(diǎn)F,PG∥BQ交EC于點(diǎn)G,設(shè)PE=x.
(1)求證:△PFG≌△QFC
(2)連結(jié)DG.當(dāng)x為何值時(shí),四邊形PGDE是菱形,請說明理由;
【答案】
(1)證明:∵BC=BE,∴∠BCE=∠PEC,
∵PG∥BQ,
∴∠BCE=∠PGE,∠Q=∠FPG,∠QCF=∠PGF,
∴∠PGE=∠PEC,
∴PE=PG,
∵PE=CQ,
∴PG=CQ,
∴△PFG≌△QFC (ASA).
(2)解:結(jié)論:當(dāng)x=4時(shí),四邊形PGDE是菱形.
理由如下:連結(jié)DG
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
AB=CD=8,AD=BC=BE=10,
在Rt△ABE中,AE= ,
∴DE=AD﹣AE=10﹣6=4,
由(1)知PG=PE=x=4,
∴PG=DE,
∵PG∥BQ,AD∥BC,
∴PG∥DE,
∴四邊形PGDE是平行四邊形,
∵PG=PE=4,
∴四邊形PGDE是菱形.
;(3)作PH⊥EC于點(diǎn)H.探究:
①點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,線段HF的長度是否發(fā)生變化?若變化,說明理由;若不變,求HF的長度;
②當(dāng)x為何值時(shí),△PHF與△BAE相似.
解:①不變化.
理由:在Rt△ABE中,CE= ,
∵PG=PE,PH⊥EC,
∴EH=HG= EG(等腰三角形“三線合一”),
∵△PFG≌△QFC,
∴CF=GF= CG,
∴HF=HG+FG= EG+ CG= CE= ,
②∵PG∥DE,
∴∠DEC=∠PGH,
在Rt△PGH中,PH=PG×sin∠PGH=x×sin∠DEC=x× =x× = ,
分兩種情況討論:
(Ⅰ)若△PHF∽△EAB,則 ,
∴ ,
∴ ,
∴當(dāng) 時(shí),△PHF∽△BAE.
(II)若△PHF∽△BAE,則 ,
∴ ,
∴ ,
∴當(dāng) 或 時(shí),△PHF與△BAE相似.
【解析】(1)只要證明PG=CQ,即可根據(jù)AAS或ASA證明;(2)結(jié)論:當(dāng)x=4時(shí),四邊形PGDE是菱形.首先證明四邊形PGDE是平行四邊形,由PG=PE=4,即可推出四邊形PGDE是菱形;(3)①不變化.可以證明:HF=HG+FG= EG+ CG= CE= ;②分兩種情形討論(Ⅰ)若△PHF∽△EAB,則 ,(II)若△PHF∽△BAE,則 ,分別列出方程即可解決問題;
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握測高:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)在對角線AC上,且AE=CF.求證:
(1)DE=BF;
(2)四邊形DEBF是平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠1=∠2,要得到△ABD≌△ACE,從下列條件中補(bǔ)選一個(gè),則錯(cuò)誤的是( )
A.AB=AC B.DB=EC C.∠ADB=∠AEC D.∠B=∠C
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某機(jī)構(gòu)對2016年微信用戶的職業(yè)頒布進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查(職業(yè)說明:A:黨政機(jī)關(guān)、軍隊(duì),B:事業(yè)單位,C:企業(yè),D:自由職業(yè)及人體戶,E:學(xué)生,F(xiàn):其他),圖1和圖2是根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制而成的不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)該機(jī)構(gòu)共抽查微信用戶人;
(2)在圖1中,補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)在圖2中,“D”用戶所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為度;
(4)2016年微信用戶約有7.5億人,估計(jì)“E”用戶大約有億人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,方格圖中每個(gè)小正方形的邊長為1,點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn).
(1)畫出△ABC關(guān)于直線MN對稱的△A1B1C1;
(2)直接寫出AA1的長度;
(3)如圖2,A、C是直線MN同側(cè)固定的點(diǎn),D是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在直線MN上畫出點(diǎn)D,使AD+DC最小.(保留作圖痕跡)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次期中考試中A、B、C、D、E五位同學(xué)的數(shù)學(xué)、英語成績等有關(guān)信息如下表所示:
A | B | C | D | E | 平均分 | 標(biāo)準(zhǔn)差 | |
數(shù)學(xué) | 71 | 72 | 69 | 68 | 70 | ||
英語 | 88 | 82 | 94 | 85 | 76 | 85 |
【1】求這五位同學(xué)在本次考試中數(shù)學(xué)成績的平均分和英語成績的標(biāo)準(zhǔn)差;
【2】為了比較不同學(xué)科考試成績的好與差,采用標(biāo)準(zhǔn)分是一個(gè)合理的選擇,標(biāo)準(zhǔn)分的計(jì)算公式是標(biāo)準(zhǔn)分=(個(gè)人成績-平均成績)÷成績標(biāo)準(zhǔn)差. 從標(biāo)準(zhǔn)分看,標(biāo)準(zhǔn)分大的考試成績更好,請問A同學(xué)在本次考試中,數(shù)學(xué)與英語哪個(gè)學(xué)科考得更好.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下圖是交警在一個(gè)路口統(tǒng)計(jì)的某個(gè)時(shí)段來往車輛的車速(單位:千米/小時(shí))情況,則下列關(guān)于車速描述錯(cuò)誤的是( )
A. 平均數(shù)是23 B. 中位數(shù)是25 C. 眾數(shù)是30 D. 方差是129
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1,-2),B(1,1),C(-3,1),△A1B1C1是△ABC向下平移2個(gè)單位,向右平移3個(gè)單位得到的.
(1)寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo),并在右圖中畫出△A1B1C1;
(2)求△A1B1C1的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠A=m°,∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1 , 得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2 , 得∠A2;…∠A2016BC和∠A20l6CD的平分線交于點(diǎn)A2017 , 則∠A2017=°.
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