Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)A（﹣4，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2），動(dòng)點(diǎn)D沿△ABC的邊AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由起點(diǎn)A向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，交△ABC的另一邊于點(diǎn)E，將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使得△EFC為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)四邊形DECO的面積為s，求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），點(diǎn)C（0，2）代入y=ax2+bx+c得， ，

∴ ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2﹣ bx+2，

對(duì)稱軸為：直線x=﹣ ；

（2）解：存在，

∵AD=2t，

∴DF=AD=2t，

∴OF=4﹣4t，

∴D（2t﹣4，0），

∵直線AC的解析式為：y= x+2，

∴E（2t﹣4，t），

∵△EFC為直角三角形，

①當(dāng)∠EFC=90°，則△DEF∽△OFC，

∴ ，即 = ，

解得：t= ，

②當(dāng)∠FEC=90°，

∴∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴DE= AF，即t=2t，

∴t=0，（舍去），

③當(dāng)∠ACF=90°，

則AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，

解得：t= ，

∴存在某一時(shí)刻t，使得△EFC為直角三角形，此時(shí)，t= 或 ；

（3）解：∵B（1，0），C（0，2），

∴直線BC的解析式為：y=﹣2x+2，

當(dāng)D在y軸的左側(cè)時(shí)，S= （DE+OC）OD= （t+2）（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2），

當(dāng)D在y軸的右側(cè)時(shí)，如圖2，

∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，

S= （DE+OC）OD= （﹣8t+10+2）（4t﹣4）=﹣16t2+40t﹣24 （2＜t＜ ）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法把A、B坐標(biāo)代入解析式即可；（2）△EFC為直角三角形時(shí)須分類討論：①∠EFC=90°②∠FEC=90°，③∠ACF=90°三種情況討論；（3）四邊形DECO 的位置以y 軸為分界線，進(jìn)行分類討論：D在y軸的左側(cè)與D在y軸的右側(cè)，OD的表達(dá)式發(fā)生變化，須分類討論.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�