【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),C(0,3)兩點(diǎn),它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CE∥x軸交拋物線于另一點(diǎn)E,連結(jié)EF,AC.
(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)在線段EF上任取點(diǎn)P,連結(jié)OP,作點(diǎn)F關(guān)于直線OP的對稱點(diǎn)G,連結(jié)EG和PG,當(dāng)點(diǎn)G恰好落到y(tǒng)軸上時(shí),求△EGP的面積.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3,E(2,3);(2)1.
【解析】
(1)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達(dá)式,根據(jù)點(diǎn)E與點(diǎn)C是對稱點(diǎn)即可得到E點(diǎn)坐標(biāo);
(2)連接FG,過P作PM⊥x軸于M,過E作EN⊥x軸于N,則PM∥EN,易得△CEG與△OFG為等腰直角三角形,則∠EGF=90°,易得EF的解析式為:y=3x﹣3,△POM是等腰直角三角形,可求得P(,),即點(diǎn)P為EF的中點(diǎn),則S△EGP=S△EGF,再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.
(1)把A(﹣1,0),C(0,3)兩點(diǎn)代入拋物線y=﹣x2+bx+c中得:
,
解得:,
∴該拋物線的表達(dá)式為:y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴對稱軸是:x=1,
∵CE∥x軸,
∴點(diǎn)C與點(diǎn)E是對稱點(diǎn),
∴E(2,3);
(2)連接FG,過P作PM⊥x軸于M,過E作EN⊥x軸于N,則PM∥EN,
∵F與G關(guān)于OP對稱,且G在y軸上,
∴OF=OG=1,
∴FG=,∠OGF=45°,
∵OC=3,
∴CG=3﹣1=2=CE,
∴△ECG是等腰直角三角形,
∴EG=2,∠CGE=45°,
∴∠EGF=90°,
∵E(2,3),F(xiàn)(1,0),
易得EF的解析式為:y=3x﹣3,
設(shè)P(x,3x﹣3),
∵∠POM=45°,
∴△POM是等腰直角三角形,
∴PM=OM,即x=3x﹣3,
解得:x=,
∴P(,),
∴FM=MN=,
∵PM∥EN,
∴FP=EP,
∴S△EGP=S△EGF==1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),∠AOB=100°,∠BOC=α,D是△ABC外一點(diǎn),且△ADC≌△BOC,連接OD.
(1)求證:△COD是等邊三角形;
(2)當(dāng)α=150°時(shí),判斷△AOD的形狀,并說明理由。
(3)探究:當(dāng)α=_____度時(shí),△AOD是等腰三角形。
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【題目】關(guān)于x的方程|x2﹣x|﹣a=0,給出下列四個(gè)結(jié)論:①存在實(shí)數(shù)a,使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根; ②存在實(shí)數(shù)a,使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根;③存在實(shí)數(shù)a,使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根;④存在實(shí)數(shù)a,使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根;其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是射線BC上一點(diǎn)(不與B,C重合),以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,連接CE.
(1)若∠BAC=90°.
①如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),∠BCE= °;
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí),如圖2,①中的結(jié)論是否仍然成立?請說明理由;
(2)若∠BAC=75°,點(diǎn)D在射線BC上,∠BCE= °;
(3)若點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng),其他條件不變.設(shè)∠BAC=α,∠BCE=β,α與β有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論.
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【題目】如圖,點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象上,延長AB交該函數(shù)圖象于另一點(diǎn)C,BC=3AB,點(diǎn)D也在該函數(shù)的圖象上,BD=BC,以BC,BD為邊構(gòu)造CBDE,若點(diǎn)O,B,E在同一條直線上,且CBDE的周長為k,則AB的長為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AD,BC的中點(diǎn),AF與BE相交于點(diǎn)M,CE與DF相交于點(diǎn)N,QM⊥BE,QN⊥EC相交于點(diǎn)Q,PM⊥AF,PN⊥DF相交于點(diǎn)P,若2BC=3AB,記△ABM和△CDN的面積和為S,則四邊形MQNP的面積為( 。
A. S B. S C. S D. S
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,每個(gè)最小方格的邊長均為1個(gè)單位長度,P1,P2,P3,…均在格點(diǎn)上,其順序按圖中“→”方向排列,如:P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,-1),P5(-1,-1),P6(-1,2),…,根據(jù)這個(gè)規(guī)律,點(diǎn)P2 019的坐標(biāo)為_____
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方形OABC中,O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,b),且a、b滿足+|b-6|=0,點(diǎn)B在第一象限內(nèi),點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā),以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著O-C-B-A-O的線路移動(dòng).
(1)a=______________,b=_____________,點(diǎn)B的坐標(biāo)為_______________;
(2)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)4秒時(shí),請指出點(diǎn)P的位置,并求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在移動(dòng)過程中,當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為5個(gè)單位長度時(shí),求點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間.
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【題目】已知:甲乙兩車分別從相距300千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行,其中甲到達(dá)B地后立即返回,如圖是甲乙兩車離A地的距離y(千米)與行駛時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)圖象.
(1)求甲車離A地的距離y甲(千米)與行駛時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(2)若它們出發(fā)第5小時(shí)時(shí),離各自出發(fā)地的距離相等,求乙車離A地的距離y乙(千米)與行駛時(shí)間x(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,求它們在行駛的過程中相遇的時(shí)間.
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