【題目】如圖,拋物線y=與x軸交于A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))與y軸交于點(diǎn)C,連接AC、BC.過點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D(8,10),點(diǎn)P為線段BC下方拋物線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作PE∥y軸交線段AD于點(diǎn)E.
(1)如圖1.當(dāng)PE+AE最大時(shí),分別取線段AE,AC上動點(diǎn)G,H,使GH=5,若點(diǎn)M為GH的中點(diǎn),點(diǎn)N為線段CB上一動點(diǎn),連接EN、MN,求EN+MN的最小值;
(2)如圖2,點(diǎn)F在線段AD上,且AF:DF=7:3,連接CF,點(diǎn)Q,R分別是PE與線段CF,BC的交點(diǎn),以RQ為邊,在RQ的右側(cè)作矩形RQTS,其中RS=2,作∠ACB的角平分線CK交AD于點(diǎn)K,將△ACK繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°得到△A′CK′,當(dāng)矩形RQTS與△A′CK′重疊部分(面積不為0)為軸對稱圖形時(shí),請直接寫出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.
【答案】(1)2-(2)當(dāng)xP=2-1或2<xP<6-6時(shí),矩形RQRS和△A′CK′重疊部分為軸對稱圖形
【解析】
(1)先通過二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再求出AC,AB,CB的長度,用勾股定理逆定理證直角三角形,求出直線AD的解析式,用含相同字母的代數(shù)式分別表示E,Q,P的坐標(biāo),并表示出EP長度,求出AE長度,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出EA+EP最大值時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).最后作出點(diǎn)E關(guān)于CB的對稱點(diǎn),利用兩點(diǎn)之間線段最短可求出結(jié)果;
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形CA′K與三角形CAK全等,且為等腰直角三角形,求出A′,K′的坐標(biāo),求出直線A′K′及CB的解析式,求出交點(diǎn)坐標(biāo),通過圖象觀察出P的橫坐標(biāo)的取值范圍.
(1)在拋物線y=x2-x-6中,
當(dāng)y=0時(shí),x1=-2,x2=6,
當(dāng)x=0時(shí),y=-6,
∵拋物線y=x2-x-6與x軸交于A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,
∴A(-2,0),B(6,0),C(0,-6),
∴AB=8,AC=,BC=,
在△ABC中,
AC2+BC2=192,AB2=192,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
∵AD∥BC,
∴∠CAD=90°,
過點(diǎn)D作DL⊥x軸于點(diǎn)L,
在Rt△ADL中,
DL=10,AL=10,
tan∠DAL==,
∴∠DAB=30°,
把點(diǎn)A(-2,0),D(8,10)代入直線解析式,
得,
解得k=,b=2,
∴yAD=x+2,
設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a,EP⊥y軸于點(diǎn)Q,
則E(a,a+2),Q(a,0),P(a,a2-a-6),
∴EQ=a+2,EP=a+2-(a2-a-6)=a2+a+8,
∴在Rt△AEB中,
AE=2EQ=a+4,
∴PE+AE=a+4+(a2+a+8)
=a2a+12
=(a-5)2+
∴根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)a=5時(shí),PE+AE有最大值,
∴此時(shí)E(5,7),
過點(diǎn)E作EF⊥CB交CB的延長線于點(diǎn)F,
則∠EAC=∠ACB=∠ACF=90°,
∴四邊形ACFE是矩形,
作點(diǎn)E關(guān)于CB的對稱點(diǎn)E',
在矩形ACFE中,由矩形的性質(zhì)及平移規(guī)律知,
xF-xE=xC-xA,yE-yF=yA-yC,
∵A(-2,0),C(0,-6),E(5,7),
∴xF-5=0-(-2),7-yF=0-(-6),
∴xF=7,yF=1,
∴F(7,1),
∵F是EE′的中點(diǎn),
∴,,
∴xE′=9,yE′=-5,
∴E'(9,-5),
連接AE',交BC于點(diǎn)N,則當(dāng)GH的中點(diǎn)M在E′A上時(shí),EN+MN有最小值,
∴AE′==2,
∵M是Rt△AGH斜邊中點(diǎn),
∴AM=GH=,
∴EN+MN=E′M=2-,
∴EN+MN的最小值是2-.
(2)在Rt△AOC中,
∵tan∠ACO==,
∴∠AOC=30°,
∵KE平分∠ACB,
∴∠ACK=∠BCK=45°,
由旋轉(zhuǎn)知,△CA′K′≌△CAK,∠AC′A′=75°,
∴∠OCA′=75°-∠ACO=45°,∠AC′K′=45°,
∴OCK′=90°,
∴K′C⊥y軸,△CAK′是等腰直角三角形,
∴A′C=AC=4,
∴xA′==2,yA′=2-6,
∴A′(2,2-6),
∴K′(4,-6),
將A′(2,2-6),K′(4,-6),代入一次函數(shù)解析式,
得,
解得k=-1,b=4-6,
∴yA′K′=-x+4-6,
∵CB∥AD,
∴將點(diǎn)C(0,-6),B(6,0)代入一次函數(shù)解析式,
得,
解得k=,b=-6,
∴yCB=x-6,
聯(lián)立yA′K′=-x+4-6和yCB=x-6,
得-x+4-6=x-6,
∴x=6-6,
∴直線CB與A′K′的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是6-6,
∵當(dāng)EP經(jīng)過A′時(shí),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2,
∴如圖2,當(dāng)2<xP<6-6時(shí),重疊部分是軸對稱圖形;
如圖3,由于RS的長度為2,由圖可看出當(dāng)xP=2-1時(shí),重疊部分同樣為軸對稱圖形;
綜上,當(dāng)xP=2-1或2<xP<6-6時(shí),
矩形RQRS和△A′CK′重疊部分為軸對稱圖形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知Rt△ABC,∠C=90°,CD⊥AB于D.
(1)點(diǎn)E在CA延長線上,點(diǎn)F在BC延長線上,連接DE,DF,
①如圖1,∠B=45°,AC=AE,BC=CF,請補(bǔ)全圖形,并直接寫出DE和DF的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系;
②如圖2,∠B=30°,若DE和DF的位置關(guān)系滿足①中的結(jié)論,請補(bǔ)全圖形,判斷AE和CF的數(shù)量關(guān)系,并證明;
(2)點(diǎn)E在射線CA上,點(diǎn)F在射線BC上,連接DE,DF,BE,EF,如果DE⊥DF,EC=8,EB=17,EF=10,請直接寫出AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一科技小組進(jìn)行了機(jī)器人行走性能試驗(yàn),在試驗(yàn)場地有A、B、C三點(diǎn)順次在同一筆直的賽道上,甲、乙兩機(jī)器人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)同向出發(fā),歷時(shí)7分鐘同時(shí)到達(dá)C點(diǎn),乙機(jī)器人始終以60米/分的速度行走,如圖是甲、乙兩機(jī)器人之間的距離y(米)與他們的行走時(shí)間x(分鐘)之間的函數(shù)圖象,請結(jié)合圖象,回答下列問題:
(1)A、B兩點(diǎn)之間的距離是 米,甲機(jī)器人前2分鐘的速度為 米/分;
(2)若前3分鐘甲機(jī)器人的速度不變,求線段EF所在直線的函數(shù)解析式;
(3)若線段FG∥x軸,則此段時(shí)間,甲機(jī)器人的速度為 米/分;
(4)求A、C兩點(diǎn)之間的距離;
(5)若前3分鐘甲機(jī)器人的速度不變,直接寫出兩機(jī)器人出發(fā)多長時(shí)間相距28米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在矩形紙片ABCD中,,,翻折矩形紙片,使點(diǎn)A落在對角線DB上的點(diǎn)F處,折痕為DE,打開矩形紙片,并連接EF.
的長為多少;
求AE的長;
在BE上是否存在點(diǎn)P,使得的值最?若存在,請你畫出點(diǎn)P的位置,并求出這個(gè)最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“學(xué)而時(shí)習(xí)之,不亦樂乎!”,古人把經(jīng)常復(fù)習(xí)當(dāng)作是一種樂趣,能達(dá)到這種境界是非常不容易的.復(fù)習(xí)可以讓遺忘的知識得到補(bǔ)拾,零散的知識變得系統(tǒng),薄弱的知識有所強(qiáng)化,掌握的知識更加鞏固,生疏的技能得到訓(xùn)練.為了了解初一學(xué)生每周的復(fù)習(xí)情況,教務(wù)處對初一(1)班學(xué)生一周復(fù)習(xí)的時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查,復(fù)習(xí)時(shí)間四舍五入后只有4種:1小時(shí),2小時(shí),3小時(shí),4小時(shí),一周復(fù)習(xí)2小時(shí)的女生人數(shù)占全班人數(shù)的16%,一周復(fù)習(xí)4小時(shí)的男女生人數(shù)相等.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,制作了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(表):
分組(四舍五入后) | 頻數(shù)(學(xué)生人數(shù)) |
1小時(shí) | 2 |
2小時(shí) | a |
3小時(shí) | 4 |
4小時(shí) | b |
初一(1)班女生的復(fù)習(xí)時(shí)間數(shù)據(jù)(單位:小時(shí))如下:0.9,1.3,1.7,1.8,1.9,2.2,2.2,2.2,2.3,2.4,3.2,3.2,3.2,3.3,3.8,3.9,3.9,4.1,4.2,4.3.
女生一周復(fù)習(xí)時(shí)間頻數(shù)分布表
(1)四舍五入前,女生一周復(fù)習(xí)時(shí)間的眾數(shù)為______小時(shí),中位數(shù)為______小時(shí);
(2)統(tǒng)計(jì)圖表中a=______,c=______,初一(1)班男生人數(shù)為______人,根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖估算初一(1)班男生一周的平均復(fù)習(xí)時(shí)間為______小時(shí);
(3)為了激勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成良好的復(fù)習(xí)習(xí)慣,教務(wù)處決定對一周復(fù)習(xí)時(shí)間四舍五入后達(dá)到3小時(shí)及以上的全年級學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng),每人獎(jiǎng)勵(lì)1個(gè)筆記本,初一年級共有1000名學(xué)生,請問教務(wù)處應(yīng)該準(zhǔn)備大約多少個(gè)筆記本?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】附加題:(y﹣z)2+(x﹣y)2+(z﹣x)2=(y+z﹣2x)2+(z+x﹣2y)2+(x+y﹣2z)2.
求 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用,催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.小明計(jì)劃給朋友快遞一部分物品,經(jīng)了解有甲、乙兩家快遞公司比較合適.甲公司表示:快遞物品不超過1千克的,按每千克22元收費(fèi);超過1千克,超過的部分按每千克15元收費(fèi).乙公司表示:按每千克16元收費(fèi),另加包裝費(fèi)3元.設(shè)小明快遞物品x千克.
(1)請分別寫出甲、乙兩家快遞公司快遞該物品的費(fèi)用y(元)與x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)小明選擇哪家快遞公司更省錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)(x>0)的圖像交于點(diǎn)A(2,5)和點(diǎn)B(m,1).
(1)確定這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求出△OAB的面積;
(3)結(jié)合圖像,直接寫出不等式的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年春節(jié),小娜家購買了4個(gè)燈籠,燈籠上分別寫有“歡”、“度”、“春”、“節(jié)”(外觀完全一樣).
(1)小娜抽到“2019年”是 事件,“歡”字被抽中的是 事件;(填“不可能”或“必然”或“隨機(jī)”).小娜從四個(gè)燈籠中任取一個(gè),取到“春”的概率是 .
(2)小娜從四個(gè)燈籠中先后取出兩個(gè)燈籠,請用列表法或畫樹狀圖法求小娜恰好取到“春”、“節(jié)”兩個(gè)燈籠的概率.
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