Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC，BC的長(zhǎng)分別為4和6，∠ACB的平分線交⊙O于D，則CD的長(zhǎng)為（　�。�

• A、7

  2

• B、5

  2

• C、7
• D、9

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰直角三角形,圓周角定理

專(zhuān)題：

分析：作DF⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，作DG⊥CB于點(diǎn)G，連接DA，DB．由CD平分∠ACB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DF=DG，由HL證明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=

9

2

，又△CDF是等腰直角三角形，從而求出CD的長(zhǎng)．

解答：解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延長(zhǎng)線上，作DG⊥CB于點(diǎn)G，連接DA，DB．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG，

AD

=

BD

，
∴DA=DB．
∵∠AFD=∠BGD=90°，
在Rt△ADF和Rt△BDG，

AD=BD DF=BD

，
∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），
∴AF=BG．
同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），
∴CF=CG．
∵AC=4，BC=6，
∴4+AF=6-AF，
∴AF=1，
∴CF=5，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=5

2

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的對(duì)等關(guān)系，全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．