Question

【題目】某手機專賣店銷售A，B兩種型號的手機，如表是近兩周的銷售情況：

銷售時段	銷售數量		銷售利潤
	A型	B型
第一周	3臺	5臺	1800元
第二周	4臺	10臺	3000元

（1）求每臺A型手機和B型手機的銷售利潤；

（2）該手機專賣店計劃一次購進兩種型號的手機共100臺，其中A型號手機的進貨量不超過B型號手機進貨量的2倍．設購進A型號手機x臺，這100臺手機的銷售總利潤為y元．

①求y關于x的函數表達式；

②該商店購進A型號和B型號手機各多少臺，才能使銷售總利潤最大？

（3）實際進貨時，廠家對A型號手機的出廠價提高a（0＜a＜100）元，對B型號手機的出廠價下降a（0＜a＜100）元，且限定該手機專賣店至少購進A型號手機20臺．若該手機專賣店保持兩種手機的售價不變，請根據以上信息及（2）中條件，設計出使這100臺手機銷售總利潤最大的進貨方案．

Answer 1

【答案】(1)150元；(2)①y=120x+18000；②商店購進66臺A型手機和34臺B型手機的銷售利潤最大；(3) 商店購進20臺A型手機和80臺B型手機的銷售利潤最大．

【解析】

試題分析：（1）設每臺A型手機利潤為a元，每臺B型手機的銷售利潤為b元；根據題意列出方程組求解，

（2）①據題意得，y=300x+180（100﹣x）；

②利用不等式求出x的范圍，又因為y=120x+18000是增函數，即可得出答案；

（3）據題意得，y=（300﹣a）x+（180+a）（100﹣x），即y=（120﹣2a）x+18000+100a，分三種情況討論，①當0＜a＜60時，120﹣2a＞0，y隨x的增大而增大，②a=60時，120﹣2a=0，y=24000，③當60＜a＜100時，120﹣2a＜0，y隨x的增大而減小，分別進行求解．

試題解析：（1）設每臺A型手機銷售利潤為a元，每臺B型手機的銷售利潤為b元；根據題意得：

，解得：，

答：每臺A型手機銷售利潤為100元，每臺B型手機的銷售利潤為150元．

（2）①據題意得，y=300x+180（100﹣x）=120x+18000；

②據題意得，x≤2（100﹣x），解得x≤66，

∵y=120x+18000，120＞0，

∴y隨x的增大而增大，

∵x為正整數，

∴當x=66時，y取最大值，則100﹣66=34，

即商店購進66臺A型手機和34臺B型手機的銷售利潤最大．

（3）據題意得，y=（300﹣a）x+（180+a）（100﹣x），即y=（120﹣2a）x+18000+100a，20≤x≤66，

①當0＜a＜60時，120﹣2a＞0，y隨x的增大而增大，

∴當x=66時，y取最大值，

②a=60時，120﹣2a=0，y=18000+100a=24000，

即商店購進A型手機數量滿足x≤66的整數時，均獲得最大利潤；

③當60＜a＜100時，120﹣2a＜0，y隨x的增大而減小，

∴當x=20時，y取得最大值．

即商店購進20臺A型手機和80臺B型手機的銷售利潤最大．