Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．點(diǎn)P從B出發(fā)，沿BC方向，以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從A出發(fā)，沿AB方向，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；若兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0），△BPQ的面積為S（cm2）．

（1）t＝2秒時(shí)，則點(diǎn)P到AB的距離是　 　cm，S＝　 　cm2；

（2）t為何值時(shí)，PQ⊥AB；

（3）t為何值時(shí)，△BPQ是以BP為底邊的等腰三角形；

（4）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）；（4）S＝﹣t2+3t，S的最大值為．

【解析】

（1）作PH⊥AB于H，根據(jù)勾股定理求出AB，證明△BHP∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求出PH，根據(jù)三角形的面積公式求出S；

（2）根據(jù)△BQP∽△BCA，得到＝，代入計(jì)算求出t即可；

（3）過(guò)Q作QG⊥BC于G，證明△QBG∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算，得到答案；

（4）根據(jù)△QBG∽△ABC，用t表示出QG，根據(jù)三角形的面積公式列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可．

解：在Rt△ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，

由勾股定理得，AB＝＝＝10cm，

∴0＜t≤5，經(jīng)過(guò)ts時(shí)，BP＝t，AQ＝2t，則BQ＝10﹣2t，

（1）如圖1，作PH⊥AB于H，

當(dāng)t＝2時(shí)，BP＝2，BQ＝10﹣2t＝6，

∵∠BHP＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，

∴△BHP∽△BCA，

∴＝，即＝，

解得：PH＝，

∴S＝×6×＝，

故答案為：；；

（2）當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，∠BQP＝∠BCA＝90°，∠B＝∠B，

∴△BQP∽△BCA，

∴＝，即＝，

解得，t＝，

則當(dāng)t＝時(shí)，PQ⊥AB；

（3）如圖2，過(guò)Q作QG⊥BC于G，

∵QB＝QP，QG⊥BC，

∴BG＝GP＝t，

∵∠BGQ＝∠C＝90°，∠B＝∠B，

∴△QBG∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得，t＝，

∴當(dāng)t＝時(shí)，△BPQ是以BP為底邊的等腰三角形；

（4）由（3）可知，△QBG∽△ABC，

∴＝，即＝，

解得，QG＝﹣t+6，

∴S＝×t×（﹣t+6），

＝﹣t2+3t，

＝﹣（t﹣）2+，

則當(dāng)t＝時(shí)，S的值最大，最大值為．