Question

【題目】如圖（1）所示，將一個(gè)腰長(zhǎng)為2等腰直角△BCD和直角邊長(zhǎng)為2、寬為1的直角△CED拼在一起．現(xiàn)將△CED繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△CE’D’，旋轉(zhuǎn)角為a．

（1）如圖（2），旋轉(zhuǎn)角a=30°時(shí)，點(diǎn)D′到CD邊的距離D’A=______．求證：四邊形ACED′為矩形；

（2）如圖（1），△CED繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，在BC上如何取點(diǎn)G，使得GD’=E’D；并說(shuō)明理由．

（3）△CED繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，∠CE’D=90°時(shí)，直接寫出旋轉(zhuǎn)角a的值．

Answer 1

【答案】1

【解析】分析：（1）過(guò)D′作D′N⊥CD于N．由30°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半即可得結(jié)論．

由D’A∥CE且D’A=CE=1，得到四邊形ACED’為平行四邊形．根據(jù)有一個(gè)角為90°的平行四邊形是矩形，即可得出結(jié)論；

（2）取BC中點(diǎn)即為點(diǎn)G，連接GD’．易證△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論．

（3）分兩種情況討論即可．

詳解：（1）D’A=1．理由如下：

過(guò)D′作D′N⊥CD于N．

∵∠NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ND′= CD′=1．

由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1，

∴四邊形ACED’為平行四邊形．

又∵∠DCE=90°，

∴四邊形ACED’為矩形；

（2）如圖，取BC中點(diǎn)即為點(diǎn)G，連接GD’．

∵∠DCE=∠D’CE’=90°，

∴∠DCE’=∠D’CG．

又∵D’C= DC，CG=CE’，

∴△DCE’≌△D’CG，

∴GD’=E’D．

（3）分兩種情況討論：①如圖1．

∵∠CE′D=90°，CD=2，CE′=1，∴∠CDE′=30°，∴∠E′CD=60°，∴∠E′CB=30°，∴旋轉(zhuǎn)角=∠ECE′=180°+30°=210°．

②如圖2，同理可得∠E′CE=30°，∴旋轉(zhuǎn)角=360°－30°=330°．