Question

如下圖，在△ABC中，AP平分∠CAB（∠CAB＜60°）
（1）如圖（1）點P在BC上，若∠CAB=42°，∠B=32°，確定AB，AC，PB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）如圖（2），點P在△ABC內(nèi)，若∠CAB=2α，∠ABC=60°-α，且∠CBP=30°，求∠APC的度數(shù)（用含α的式子表示）．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）在AB上截取AD，使AD=AC．連PD即可求證△ACP≌△ADP即可求得∠4=∠5，即可解題；
（2）延長AC至M，使AM=AB，連接PM、BM，可證△AMP≌△ABP，進而可以求證△PMB為等邊三角形，即可求得∠ACP的度數(shù)，即可解題．

解答：解：（1）AB-AC=PB；
證明：在AB上截取AD，使AD=AC．連PD（如圖1）

∵AP平分∠CAB，
∴∠1=∠2
在△ACP和△ADP中，

AC=AD ∠1=∠2 AP=AP

，
∴△ACP≌△ADP（SAS），
∴∠C=∠3．
∵△ABC中，∠CAB=42°，∠ABC=32°，
∴∠C=180°-∠CAB-∠ABC=180°-42°-32°=106°．
∴∠3=106°．
∴∠4=180°-∠3=180°-106°=74°，
∠5=∠3-∠ABC=106°-32°=74°．
∴∠4=∠5．
∴PB=DB．
∴AB-AC=AB-AD=DB=PB．
（2）延長AC至M，使AM=AB，連接PM，BM．（如圖2）

∵AP平分∠CAB，∠CAB=2α，
∴∠1=∠2=

1

2

•2α=α．
在△AMP和△ABP中，

AM=AB ∠1=∠2 AP=AP

，
∴△AMP≌△ABP（SAS），
∴PM=PB，∠3=∠4．
∵∠ABC=60°-α，∠CBP=30°，
∴∠4=（60°-α）-30°=30°-α．
∴∠3=∠4=30°-α．
∵△AMB中，AM=AB，
∴∠AMB=∠ABM=（180°-∠MAB）÷2=（180°-2α）÷2=90°-α．
∴∠5=∠AMB-∠3=（90°-α）-（30°-α）=60°．
∴△PMB為等邊三角形．
∵∠6=∠ABM-∠ABC=（90°-α）-（60°-α）=30°，
∴∠6=∠CBP．
∴BC平分∠PBM．
∴BC垂直平分PM．
∴CP=CM．
∴∠7=∠3=30°-α．
∴∠ACP=∠7+∠3=（30°-α）+（30°-α）=60°-2α．
∴△ACP中，∠APC=180°-∠1-∠ACP
=180°-α-（60°-2α）
=120°+α．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題，（1）中求證△ACP≌△ADP，（2）中求證△AMP≌△ABP是解題的關(guān)鍵．