Question

【題目】如圖，已知拋物線L：y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3，0)、B(0，4)和F(4，0)．

　　　

(1)求拋物線L的解析式；

(2)在圖①拋物線L上，求作點(diǎn)C(保留作圖痕跡，不寫作法)，使∠BAC=∠FAC，并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)在圖①中，若點(diǎn)D為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，交直線AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥x軸于點(diǎn)K，連接DC，當(dāng)以點(diǎn)G，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△ACK相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)（，）；（3）點(diǎn)D的坐標(biāo)（，）或（，）．

【解析】

（1）將點(diǎn)A(-3，0)、B(0，4)和F(4，0)的坐標(biāo)代入解析式中即可求出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，作出∠BAF的角平分線AC即可，然后過(guò)點(diǎn)B作BP∥AC交x軸于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥x軸于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，），證出，列出比例式即可求出t，從而求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)情況分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱性、相似三角形的判定及性質(zhì)和聯(lián)立方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，即可分別求出結(jié)論．

解：（1）將點(diǎn)A(-3，0)、B(0，4)和F(4，0)的坐標(biāo)代入拋物線L的解析式中，得

解得：

∴拋物線L的解析式為；

（2）以A為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交AB、AF于M、N；然后分別以M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線AE，交y軸于點(diǎn)P，交拋物線于點(diǎn)C，易知此時(shí)AC平分∠BAF，即∠BAC=∠FAC，如下圖所示，點(diǎn)C即為所求．

過(guò)點(diǎn)B作BP∥AC交x軸于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥x軸于點(diǎn)Q

∵點(diǎn)A(-3，0)、B(0，4)，∠BOA=90°

∴AO=3，BO=4，

根據(jù)勾股定理可得AB=

∵BP∥AC，AC平分∠BAF

∴∠BPO=∠CAQ，∠BAO=2∠CAQ

∴∠BAO=2∠BPO

∵∠BAO=∠BPO＋∠ABP

∴∠BPO=∠ABP

∴AP=AB=5

∴PO=AP＋AO=8

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，），由圖可知：t＞0

∴OQ=t，CQ=

∴AQ=t＋3

∵∠CQA=∠BOP=90°，∠CAQ =∠BPO

∴

∴

即

解得：（不符合t的取值范圍，舍去）

∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為=

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）；

（3）①當(dāng)時(shí)，如下圖所示

∴∠DCG=∠KAC，∠CDG=∠AKC=90°

∴CD∥x軸

此時(shí)點(diǎn)C、D關(guān)于拋物線L的對(duì)稱軸對(duì)稱，對(duì)稱軸為直線x==

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）

∴此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；

②當(dāng)時(shí)，如下圖所示

∴∠DCG=∠AKC=90°

∴DC⊥AC

設(shè)CD與x軸交于點(diǎn)M

由（2）知：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，），AK=，CK=

∵∠AKC=∠CKM=∠ACM=90°

∴∠CAK＋∠ACK=90°，∠MCK＋∠ACK=90°

∴∠CAK=∠MCK

∴

∴

∴

解得：MK=

∴OM=

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）

設(shè)直線CD的解析式為y=kx＋d

將點(diǎn)C和點(diǎn)M的坐標(biāo)代入，得

解得：

∴直線CD的解析式為

聯(lián)立

解得：或

其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；

③∵∠DGC一定不等于90°

∴不存在點(diǎn)D，使或；

當(dāng)以點(diǎn)G，C，D為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（，）．