【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,△OAB是等邊三角形,點B的坐標(biāo)為(4,0),點C(a,0)是x軸上一動點,其中a≠0,將△AOC繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ABD,連接CD.
(1)求證;△ACD是等邊三角形;
(2)如圖2,當(dāng)0<a<4時,△BCD周長是否存在最小值?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.
(3)如圖3,當(dāng)點C在x軸上運動時,是否存在以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)詳見解析;(2)存在,a=2;(3)a=8.
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理證明;
(2)證明△OAC≌△BAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=OC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計算即可;
(3)分點C在x軸的負(fù)半軸上、點C在線段OB上、點C在點B的右側(cè)三種情況,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算.
(1)證明:由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知,AC=AD,∠CAD=60°,
∴ACD是等邊三角形;
(2)解:存在,a=2,
理由如下:∵△OAB和△ACD都是等邊三角形,
∴AO=AB,AC=AD,∠OAB=∠CAD=60°,
∴∠OAB-∠CAB=∠CAD-∠CAB,即∠OAC=∠BAD,
在△OAC和△BAD中,
,
∴△OAC≌△BAD(SAS)
∴BD=OC,
∴△BCD周長=BC+BD+CD=BC+OC+CD=OB+CD,
當(dāng)CD最小時,△BCD周長最小,
∵ACD是等邊三角形,
∴CD=AC,
當(dāng)AC⊥OB時,即OC=2,AC最小,最小值為=2,
∴△BCD周長的最小值為4+2,此時a=2;
(3)解:當(dāng)點C在x軸的負(fù)半軸上時,∠BDC=90°,
則∠ADB=30°,
∵△OAC≌△BAD,
∴∠ACO=∠ADB=30°,
∴∠BCD=30°,
∴BD=BC,
∴OC=BC,
∴OC=4,
則a=-4;
當(dāng)點C在線段OB上時,∠DBC=120°,
∴不存在以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形,
∴a不存在;
當(dāng)點C在點B的右側(cè)時,∠BCD=90°,
則∠ACO=30°,
∵∠AOC=60°,
∴∠OAC=90°,又∠ACO=30°,
∴OC=2OA=8,
∴a=8.
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【題目】如圖,△ABC的角平分線CD、BE相交于F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于G,下列結(jié)論:
①∠CEG=2∠DCB;②∠DFB= ∠CGE;③∠ADC=∠GCD;④CA平分∠BCG.其中正確的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,OABC中頂點A在x軸負(fù)半軸上,B、C在第二象限,對角線交于點D,若C、D兩點在反比例函數(shù) 的圖象上,且OABC的面積等于12,則k的值是 .
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【題目】在同一平面內(nèi),若一個點到一條直線的距離不大于1,則稱這個點是該直線的“伴侶點”.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點M(1,0),過點M作直線l平行于y軸.
(1)試判斷點A(-1,a)是否是直線l的“伴侶點”?請說明理由;
(2)若點P(2m-5,8)是直線l的“伴侶點”,求m的取值范圍;
(3)若點A(-1,a)、B(b,2a)、C(-,a-1)是平面直角坐標(biāo)系中的三個點,將三角形ABC進行平移,平移后點A的對應(yīng)點為D,點B的對應(yīng)點為E,點C的對應(yīng)點為F.若點F剛好落在直線l上,F的縱坐標(biāo)為a+b,點E落在x軸上,且三角形MFD的面積為,試判斷點B是否是直線l的“伴侶點”?請說明理由.
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【題目】某種商品A的零售價為每件900元,為了適應(yīng)市場競爭,商店按零售價的九折優(yōu)惠后,再讓利40元銷售,仍可獲利10%.
(1)這種商品A的進價為多少元?
(2)現(xiàn)有另一種商品B進價為600元,每件商品B也可獲利10%.對商品A和B共進貨100件,要使這100件商品共獲純利6670元,則需對商品A、B分別進貨多少件?
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,邊AB的長為3,點E,F(xiàn)分別在AD,BC上,連接BE,DF,EF,BD,若四邊形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,則邊BC的長為( )
A. 2 B. 6 C. 3 D.
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【題目】已知如圖:AD∥BC,E、F分別在DC、AB延長線上.∠DCB=∠DAB,AE⊥EF,∠DEA=30°.
(1)求證:DC//AB.
(2)求∠AFE的大小
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【題目】用二元一次方程組解決問題:近日由于城市地下水管老舊破裂,全市停水.小明去超市購買生活用水,已知大桶礦泉水每桶5升,價值10.5元,小瓶礦泉水每瓶500毫升,價值1.5元.(1升=1000毫升)
(1)若小明要購買1大桶礦泉水和3小瓶礦泉水,需要 元;
(2)若小明生活用水總量為20升,共花費46.5元,問這兩種礦泉水各買多少?
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A1,A2,A3,…分別在x軸上,點B1,B2,B3,…分別在直線y=x上,△OA1B1,△B1A1A2,△B1B2A2,△B2A2A3,△B2B3A3…,都是等腰直角三角形,如果OA1=1,則點A2019的坐標(biāo)為_____.
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