【題目】如圖1,在△OMN中,∠MON=90°,OM=6cm,∠OMN=30°.等邊△ABC的頂點(diǎn)B與點(diǎn)O重合,BC在OM上,點(diǎn)A恰好在MN上.

(1)求等邊△ABC的邊長;

(2)如圖2,將等邊△ABC沿OM方向以1cm/s的速度平移,邊AB、AC分別與MN交于點(diǎn)E、F,在△ABC平移的同時,點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā),以2cm/s的速度沿折線B→A→C運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P達(dá)到點(diǎn)C時,點(diǎn)P停止運(yùn)動,△ABC也隨之停止平移.設(shè)△ABC平移時間為t(s)

①用含t的代數(shù)式表示AE的長,并寫出t的取值范圍;

②在點(diǎn)P沿折線B→A→C運(yùn)動的過程中,是否在某一時刻,點(diǎn)P、E、F組成的三角形為等腰三角形?若存在,求出此時t值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)3cm;(2)①t值為2

【解析】試題分析:(1)根據(jù),∠OMN=30°ABC為等邊三角形,求證OAM為直角三角形,然后即可得出答案.

(2)①由直角三角形的性質(zhì)得出ON=2,MN=4.證明OMN∽△BEM,得出對應(yīng)邊成比例,得出BE,即可得出AE的長,容易得出t的取值范圍;

②△PEF為等腰三角形,分情況討論,求出t的值,如果在0<t<3這個范圍內(nèi)就存在,否則就不存在.

試題解析:(1)∵△ABC為等邊三角形,

∴∠AOC=60°

又∵∠OMN=30°

∴∠OAM=90°,OAMN,

OAM為直角三角形,

OA=OM=3cm,

即等邊ABC的邊長為3cm.

(2)①∵BM=6-t,OM=6cm,OMN=30°

ON=2,MN=4

∵∠M=M,N=MBE=60°,

∴△OMN∽△BEM,

,即,

BE=,

AE=AB-BE=(0≤t≤3);

②存在;理由如下:

4種情況:

(a)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時,點(diǎn)PAB上運(yùn)動的時間0≤t≤,

∵△PEF為等腰三角形,∠PEF=90°

PE=EF,

∵∠A=60°,AFE=30°

EF=AE=(3-BE)=(3-)=t,

=t=t,

解得t=(故舍去),

(b)當(dāng)點(diǎn)PAF上時,

PE=PF時,點(diǎn)PEF的垂直平分線與AC的交點(diǎn),

此時P為直角三角形PEF斜邊AF的中點(diǎn),

PF=AP=2t-3,

∵點(diǎn)PABC的頂點(diǎn)B出發(fā),以2cm/s的速度沿折線B→A→C運(yùn)動,

0<t<3,在直角三角形中,cos30°=,

解得:t=2,

FE=FP,

AF=

t-(2t-3)=t,

解得:t=12-6;

(c)當(dāng)PE=EF,PAE上時無解,

(d)當(dāng)P點(diǎn)在CF上時,AP=2t-3,AF=t,則PF=AP-AF=t-3=EF,所以t-3=t,

解得 t=12+6>3,不合題意,舍去.

綜上,存在t值為12-62時,PEF為等腰三角形.

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(2)求DE的長。

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