【題目】問題提出:

n個環(huán)環(huán)相扣的圓環(huán)形成一串線型鏈條,當(dāng)只斷開其中的kkn)個環(huán),要求第一次取走一個環(huán),以后每次都只能比前一次多得一個環(huán),則最多能得到的環(huán)數(shù)n是多少呢?

問題探究:

為了找出nk之間的關(guān)系,我們運(yùn)用一般問題特殊化的方法,從特殊到一般,歸納出解決問題的方法.

探究一:k=1,即斷開鏈條其中的1個環(huán),最多能得到幾個環(huán)呢?

當(dāng)n=1,2,3時,斷開任何一個環(huán),都能滿足要求,分次取走;

當(dāng)n=4時,斷開第二個環(huán),如圖①,第一次取走1環(huán);第二次退回1環(huán)換取2環(huán),得2個環(huán);第三次再取回1環(huán),得3個環(huán);第四次再取另1環(huán),得4個環(huán),按要求分4次取走.

當(dāng)n=5,6,7時,如圖②,圖③,圖④方式斷開,可以用類似上面的方法,按要求分5,6,7次取走.

當(dāng)n=8時,如圖⑤,無論斷開哪個環(huán),都不可能按要求分次取走.

所以,當(dāng)斷開1個環(huán)時,從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成3部分,分別是1環(huán)、2環(huán)和4環(huán),最多能得到7個環(huán).

即當(dāng)k=1時,最多能得到的環(huán)數(shù)n=1+2+4=1+2×3=1+2×22-1=7.

探究二:k=2,即斷開鏈條其中的2個環(huán),最多能得到幾個環(huán)呢?

從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,按圖⑥方式斷開,把鏈條分成5部分,按照類似探究一的方法,按要求分1,2,…23次取走.

所以,當(dāng)斷開2個環(huán)時,把鏈條分成5部分,分別是1環(huán)、1環(huán)、3環(huán)、6環(huán)、12環(huán),最多能得到23個環(huán).

即當(dāng)k=2時,最多能得到的環(huán)數(shù)n=1+1+3+6+12=2+3×7=2+3×23-1=23.

探究三:k=3,即斷開鏈條其中的3個環(huán),最多能得到幾個環(huán)呢?

從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,按圖⑦方式斷開,把鏈條分成7部分,按照類似前面探究的方法,按要求分1,2,…63次取走.

所以,當(dāng)斷開3個環(huán)時,從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成7部分,分別是1環(huán)、1環(huán)、1環(huán)、4環(huán)、8環(huán)、16環(huán)、32環(huán),最多能得到63個環(huán).

即當(dāng)k=3時,最多能得到的環(huán)數(shù)n=1+1+1+4+8+16+32=3+4×15=3+4×24-1=63.

探究四:k=4,即斷開鏈條其中的4個環(huán),最多能得到幾個環(huán)呢?

按照類似前面探究的方法,當(dāng)斷開4個環(huán)時,從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成 部分,分別為 ,最多能得到的環(huán)數(shù)n= .請畫出如圖⑥的示意圖.

模型建立:

n個環(huán)環(huán)相扣的圓環(huán)形成一串線型鏈條,斷開其中的kkn)個環(huán),從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成 部分,

分別是:11、1……1、k+1 、……、 ,最多能得到的環(huán)數(shù)n =

實(shí)際應(yīng)用:

一天一位財主對雇工說:你給我做兩年的工,我每天付給你一個銀環(huán).不過,我用一串環(huán)環(huán)相扣的線型銀鏈付你工錢,但你最多只能斷開銀鏈中的6個環(huán).如果你無法做到每天取走一個環(huán),那么你就得不到這兩年的工錢,如果銀鏈還有剩余,全部歸你!你愿意嗎?

聰明的你是否可以運(yùn)用本題的方法通過計算幫助雇工解決這個難題,雇工最多能得到總環(huán)數(shù)為多少環(huán)的銀鏈?

【答案】探究四:詳見解析;模型建立:詳見解析;實(shí)際應(yīng)用:雇工最多能得到總環(huán)數(shù)為895環(huán)的銀鏈

【解析】

探究四:根據(jù)題意畫出圖形分析,由此得出答案;

模型建立:由前面當(dāng)n=1,2,3,4分析可得,從而得出其中的規(guī)律;

實(shí)際應(yīng)用:當(dāng)k6代入n = k+(k+1)×2k+1-1)計算即可.

探究四:k=4,即斷開鏈條其中的4個環(huán),最多能得到幾個環(huán)呢?

按照類似前面探究的方法,當(dāng)斷開4個環(huán)時,從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成 部分,分別為 1,1,1,1,5,10,20,40,80 ,最多能得到的環(huán)數(shù)n= 1+1+1+1+5+10+20+40+80=4+5×25-1=159

示意圖.

模型建立:有n個環(huán)環(huán)相扣的圓環(huán)形成一串線型鏈條,斷開其中的kkn)個環(huán),從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成 2k+1 部分,

分別是:1、1、1……1、k+1 2(k+1) 、…… 2k(k+1) ,最多能得到的環(huán)數(shù)n = k+(k+1)×2k+1-1 .

實(shí)際應(yīng)用:

6+7×27-1=895.

因為895大于兩年的天數(shù),

所以愿意.

答:雇工最多能得到總環(huán)數(shù)為895環(huán)的銀鏈.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度.(結(jié)果精確到0.1米)

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3)如圖2,D0,﹣2),連接BD,將△OBD繞平面內(nèi)的某點(diǎn)(記為P)逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△OBD′,O、B、D的對應(yīng)點(diǎn)分別為O′、B′、D′.若點(diǎn)B′、D′兩點(diǎn)恰好落在拋物線上,求旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P的坐標(biāo).

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