【題目】在矩形ABCD中,AE⊥BD于點E,點P是邊AD上一點.
(1)若BP平分∠ABD,交AE于點G,PF⊥BD于點F,如圖①,證明四邊形AGFP是菱形;
(2)若PE⊥EC,如圖②,求證:AEAB=DEAP;
(3)在(2)的條件下,若AB=1,BC=2,求AP的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)想辦法證明AG=PF,AG∥PF,推出四邊形AGFP是平行四邊形,再證明PA=PF即可解決問題.
(2)證明△AEP∽△DEC,可得 ,由此即可解決問題.
(3)利用(2)中結(jié)論.求出DE,AE即可.
(1)證明:如圖①中,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∵AE⊥BD,
∴∠AED=90°,
∴∠BAE+∠EAD=90°,∠EAD+∠ADE=90°,
∴∠BAE=∠ADE,
∵∠AGP=∠BAG+∠ABG,∠APD=∠ADE+∠PBD,∠ABG=∠PBD,
∴∠AGP=∠APG,
∴AP=AG,
∵PA⊥AB,PF⊥BD,BP平分∠ABD,
∴PA=PF,
∴PF=AG,
∵AE⊥BD,PF⊥BD,
∴PF∥AG,
∴四邊形AGFP是平行四邊形,
∵PA=PF,
∴四邊形AGFP是菱形.
(2)證明:如圖②中,
∵AE⊥BD,PE⊥EC,
∴∠AED=∠PEC=90°,
∴∠AEP=∠DEC,
∵∠EAD+∠ADE=90°,∠ADE+∠CDE=90°,
∴∠EAP=∠EDC,
∴△AEP∽△DEC,
∴,
∵AB=CD,
∴AEAB=DEAP;
(3)解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴BC=AD=2,∠BAD=90°,
∴BD=,
∵AE⊥BD,
∴S△ABD=BDAE=ABAD,
∴AE=
∴DE=,
∵AEAB=DEAP
∴AP=.
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【題目】如圖,已知拋物線的頂點為A(1,4),拋物線與y軸交于點B(0,3),與x軸交于C、D兩點.點P是x軸上的一個動點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)當(dāng)PA+PB的值最小時,求點P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)交軸于點、,交軸于點,在軸上有一點,連接.
(1)求二次函數(shù)的表達式;
(2)若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點,求面積的最大值;
(3)拋物線對稱軸上是否存在點,使為等腰三角形,若存在,請直接寫出所有點的坐標(biāo),若不存在請說明理由.
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【題目】正方形, ,,…按如圖所示的方式放置,點,,,…和點,,,…分別在直線()和軸上。已知,點,則的坐標(biāo)是_____________
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【題目】如圖所示平面直角坐標(biāo)系中,點A,C分別在x軸和y軸上,點B在第一象限,BC=BA,∠ABC=90°,反比例函數(shù)y=.(x>0)的圖象經(jīng)過點B,若OB=2,則k的值為_____.
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【題目】如圖,已知直線y=x+2與x軸、y軸分別交于點B,C,拋物線y=x2+bx+c過點B、C,且與x軸交于另一個點A.
(1)求該拋物線的表達式;
(2)若點P是x軸上方拋物線上一點,連接OP.
①若OP與線段BC交于點D,則當(dāng)D為OP中點時,求出點P坐標(biāo).
②在拋物線上是否存在點P,使得∠POC=∠ACO若存在,求出點P坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在東西方向的海岸線l上有長為300米的碼頭AB,在碼頭的最西端A處測得輪船M在它的北偏東45°方向上;同一時刻,在A點正東方向距離100米的C處測得輪船M在北偏東22°方向上.
(1)求輪船M到海岸線l的距離;(結(jié)果精確到0.01米)
(2)如果輪船M沿著南偏東30°的方向航行,那么該輪船能否行至碼頭AB靠岸?請說明理由.
(參考數(shù)據(jù):sin22°≈0.375,cos22°≈0.927,tan22°≈0.404,≈1.732.)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點,點,與軸交于點,
(1)求、的值:
(2)若點為直線上一點,點到直線、兩點的距離相等,將該拋物線向左(或向右)平移,得到一條新拋物線,并且新拋物線經(jīng)過點,求新拋物線的頂點坐標(biāo).
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