【題目】聯(lián)想我們曾經(jīng)學習過的三角形外心的概念,我們可引入準外心的定義:到三角形的兩個頂點距離相等的點,叫做此三角形的準外心.請回答下面的三個問題:
(1)如圖1,若PB=PC,則點P為△ABC的準外心,而且我們知道滿足此條件的準外心有無數(shù)多個,你能否用尺規(guī)作出另外一個準外心Q呢?請嘗試完成;
(2)如圖2,已知△ABC為直角三角形,斜邊BC=5,AB=3,準外心P在AC邊上,試探究PA的長;
(3)如圖3,點B既是△EDC又是△ADC的準外心,BD=BA=BC=2AD,BD∥AC,CD=,求AD的值.
【答案】(1)能用尺規(guī)作出另外一個準外心Q,如圖1所示:點Q為△ABC的準外心;(2)準外心P在AC邊上,PA的長為或2;(3)AD=.
【解析】
(1)作AB的垂直平分線MN,在MN上取點Q即可;
(2)連接BP,由勾股定理得出AC=4,分三種情況討論,由直角三角形的性質(zhì)即可得出答案;
(3)由BD=BA=BC,得出∠BAC=∠BCA,點D、A、C在以B為圓心,AB長為半徑的圓上,由圓周角定理得出∠ABD=2∠ACD,作BE⊥CD于E,BF⊥AD于F,由垂徑定理得出DE=CECD,DF=AFAD,∠ABD=2∠DBF,∠BEC=∠DFB=90°,證明△BDF≌△CBE,得出DF=BE,設DF=x,則BE=x,AD=2x,BD=2AD=4x.在Rt△BDE中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
(1)能用尺規(guī)作出另外一個準外心Q,
作AB的垂直平分線MN,在MN上取點Q,如圖1所示:
則QA=QB,點Q為△ABC的準外心;
(2)連接BP,如圖2所示:
∵△ABC為直角三角形,斜邊BC=5,AB=3,
∴AC4.
∵準外心P在AC邊上,
①當PB=PC時,
設PB=x,則PC=x,PA=4﹣x,
在Rt△ABP中,由勾股定理得:32+(4﹣x)2=x2,
解得:x,
∴PA=4;
②當PA=PC時,PAAC=2;
③當PA=PB時.
∵△ABC是直角三角形,∴此情況不存在.
綜上所述:準外心P在AC邊上,PA的長為或2;
(3)∵BD=BA=BC,∴∠BAC=∠BCA,點D、A、C在以B為圓心,AB長為半徑的圓上,如圖3所示,則∠ABD=2∠ACD.
作BE⊥CD于E,BF⊥AD于F,
則DE=CECD,DF=AFAD,
∠ABD=2∠DBF,∠BEC=∠DFB=90°.
∵BD∥AC,
∴∠ABD=∠BAC=∠BCA=2∠ACD=2∠DBF=2∠BCE,
∴∠DBF=∠BCE.
在△BDF和△CBE中,∵,
∴△BDF≌△CBE(ASA),∴DF=BE.
設DF=x,則BE=x,AD=2x,BD=2AD=4x,
在Rt△BDE中,由勾股定理得:x2+()2=(4x)2,
解得:x,∴AD=2x.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點,連接DF,過點E作EH⊥DF,垂足為H,EH的延長線交DC于點G.
(1)猜想DG與CF的數(shù)量關系,并證明你的結論;
(2)過點H作MN∥CD,分別交AD,BC于點M,N,若正方形ABCD的邊長為10,點P是MN上一點,求△PDC周長的最小值.
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【題目】如圖,在中,,,點在線段上運動(不與、重合),連接,作,交線段于.
(1)當時,______________;點從向運動時,逐漸變____________(填“大”或“小”);
(2)當時,求證:,請說明理由;
(3)在點的運動過程中,的形狀也在改變,判斷當等于多少度時,是等腰三角形.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,M為BC上一點,F是AM的中點,EF⊥AM,垂足為F,交AD的延長線于點E,交DC于點N.
(1)求證:△ABM∽△EFA;
(2)若AB=12,BM=5,求DE的長.
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【題目】某市長途客運站每天6:30—7:30開往某縣的三輛班車票價相同,但車的舒適程度不同.小張和小王因事需在這一時段乘車去該縣,但不知道三輛車開來的順序,兩人采用不同的乘車方案:小張無論如何決定乘坐開來的第一輛車,而小王則是先觀察后上車,當?shù)谝惠v車開來時,他不上車,而是仔細觀察車的舒適狀況.若第二輛車的狀況比第一輛車好,他就上第二輛車;若第二輛車不如第一輛車,他就上第三輛車.若按這三輛車的舒適程度分為優(yōu)、中、差三等,請你思考并回答下列問題:
(1)三輛車按出現(xiàn)的先后順序共有哪幾種可能?
(2)請列表分析哪種方案乘坐優(yōu)等車的可能性大?為什么?
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【題目】如圖,已知△CAD與△CEB都是等邊三角形,BD、EA的延長線相交于點F.
(1)求證:△ACE≌△DCB.
(2)求∠F的度數(shù).
(3)若AD⊥BD,請直接寫出線段EF與線段BD、DF之間的數(shù)量關系.
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【題目】“端午節(jié)”是我國的傳統(tǒng)佳節(jié),民間歷來有吃“粽子”的習俗.我市某食品廠為了解市民對去年銷量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽(以下分別用A、B、C、D表示)這四種不同口味粽子的喜愛情況,在節(jié)前對某居民區(qū)市民進行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖(尚不完整).
請根據(jù)以上信息回答:
(1)本次參加抽樣調(diào)查的居民有多少人?
(2)將兩幅不完整的圖補充完整;
(3)求扇形統(tǒng)計圖中C所對圓心角的度數(shù);
(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一個,煮熟后,小王吃了兩個.用列表或畫樹狀圖的方法,求他第二個吃到的恰好是C粽的概率.
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【題目】一組正方形按如圖所示的方式放置,其中頂點B1在y軸上,頂點C1,E1,E2,C2,E3,E4,C3……在x軸上,已知正方形A1B1C1D1的頂點C1的坐標是(﹣,0),∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3……則正方形A2018B2018C2018D2018的頂點D2018縱坐標是_____.
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