Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn) B（b，t）在直線x=b上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D、E、F分別為OB、0A、AB的中點(diǎn)，其中b是大于零的常數(shù)．

（1）判斷四邊形DEFB的形狀．并證明你的結(jié)論；

（2）試求四邊形DEFB的面積S與b的關(guān)系式；

（3）設(shè)直線x=b與x軸交于點(diǎn)C，問：四邊形DEFB能不能是矩形？若能．求出t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形，證明見解析；（2）S=2b（b＞0）；（3）當(dāng)0＜b≤4時(shí)，四邊形DEFB是矩形，這時(shí)，t=4±，當(dāng)b＞4時(shí)，四邊形DEFB不是矩形．

【解析】

解：（1）四邊形DEFB是平行四邊形．

證明：∵D、E分別是OB、OA的中點(diǎn)，

∴DE∥AB，同理，EF∥OB，

∴四邊形DEFB是平行四邊形；

（2）如圖，連接BE，

S△AOB=×8×b=4b，

∵E、F分別為OA、AB的中點(diǎn)，

∴S△AEF=S△AEB=S△AOB=b，

同理S△EOD=b，

∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b，

即S=2b（b＞0）；

（3）解法一：以E為圓心，OA長為直徑的圓記為⊙E，

①當(dāng)直線x=b與⊙E相切或相交時(shí)，若點(diǎn)B是切點(diǎn)或交點(diǎn)，則∠ABO=90°，由（1）知，四邊形DEFB是矩形，

此時(shí)0＜b≤4，可得△AOB∽△OBC，

∴

，即OB2=OABC=8t，

在Rt△OBC中，OB2=BC2+OC2=t2+b2，

∴t2+b2=8t，

∴t2-8t+b2=0，

解得t=4±，

②當(dāng)直線x=b與⊙E相離時(shí)，∠ABO≠90°，

∴四邊形DEFB不是矩形，

綜上所述：當(dāng)0＜b≤4時(shí)，四邊形DEFB是矩形，這時(shí)，t=4±，當(dāng)b＞4時(shí)，四邊形DEFB不是矩形；

解法二：由（1）知，當(dāng)∠ABO=90°時(shí)，四邊形DEFB是矩形，

此時(shí)，Rt△OCB∽Rt△ABO，

∴，即OB2=OABC，

又OB2=BC2+OC2=t2+b2，OA=8，BC=t（t＞0），

∴t2+b2=8t，

∴（t-4）2=16-b2，

①當(dāng)16-b2≥0時(shí)，解得t=4±，此時(shí)四邊形DEFB是矩形，

②當(dāng)16-b2＜0時(shí)，t無實(shí)數(shù)解，此時(shí)四邊形DEFB不是矩形，

綜上所述：當(dāng)16-b2≥0時(shí)，四邊形DEFB是矩形，此時(shí)t=4±，當(dāng)16-b2＜0時(shí)，四邊形DEFB不是矩形；

解法三：如圖，過A作AM⊥BC，垂足為M，

在Rt△AMB中，AB2=AM2+BM2=b2+（8-t）2，

在Rt△OCB中，OB2=OC2+BC2=b2+t2，

在Rt△OAB中，當(dāng)AB2+OB2=OA2時(shí)，∠ABO=90°，則四邊形DEFB為矩形，

∴b2+（8-t）2+b2+t2=82，

化簡得t2-8t=-b2，配方得（t-4）2=16-b2，其余同解法二．