【題目】綜合與實(shí)踐 在中,,點(diǎn)為斜邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合).
(1)操作發(fā)現(xiàn): 如圖①,當(dāng)時(shí),把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接.
①的度數(shù)為________;
②當(dāng)________時(shí),四邊形為正方形;
(2)探究證明: 如圖②,當(dāng)時(shí),把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后并延長(zhǎng)為原來的兩倍, 記為線段,連接.
①在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中,請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系,并證明;
②當(dāng)時(shí),求證:四邊形為矩形.
【答案】(1)①,②;(2)①;證明見解析;②見解析.
【解析】
(1)①由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠ABC=45°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:∠ACD=∠BCE,CD=CE,證明△BCE≌△ACD,即可得出結(jié)果;
②由四邊形為正方形,得BE=CD,∠CDB=90°,因?yàn)?/span>AC=BC,所以△ABC是等腰三角形,所以∠A=∠ABC=45°,解直角三角形可得CD的長(zhǎng),從而得到BE的長(zhǎng);
(2)①證明△ACD∽△BCE,即可得出;
②由垂直的定義得出,由得∠DBE=90°,因?yàn)?/span>,所以得到四邊形CDBE為矩形.
解:(1)①∵∠ACB=90°,AC=BC
∴∠A=∠ABC=45°
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:∠ACD=∠BCE,CD=CE
在△BCE和△ACD中,
∴△BCE≌△ACD(SAS)
∴∠CBE=45°
②當(dāng)BE=時(shí),四邊形為正方形.理由如下:
∵四邊形為正方形
∴BE=CD,∠CDB=90°
∴CD⊥AB
∵AC=BC=8
∴△ABC是等腰三角形
∴∠A=∠ABC=45°
∴CD=ACsin45°=8×=4
∴BE=4
即當(dāng)BE=時(shí),四邊形為正方形.
(2)①
證明:如圖,
又
②證明:由(2)①得
又
四邊形是矩形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),與函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為.
(1)求,,的值;
(2)將線段向右平移得到對(duì)應(yīng)線段,當(dāng)點(diǎn)落在函數(shù)的圖象上時(shí),求線段掃過的面積.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線過點(diǎn),與軸交于點(diǎn),連接將沿所在的直線翻折,得到連接.
(1)若求拋物線的解析式.
(2)如圖1,設(shè)的面積為的面積為,若,求的值.
(3)如圖2,若點(diǎn)是半徑為的上一動(dòng)點(diǎn),連接當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí),的值最大,請(qǐng)求出這個(gè)最大值,并說明理由.
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【題目】隨著天氣的逐漸炎熱(如圖1),遮陽傘在我們的日常生活中隨處可見如圖2所示,遮陽傘立柱OA垂直于地面,當(dāng)將遮陽傘撐開至OD位置時(shí),測(cè)得∠ODB=45°,當(dāng)將遮陽傘撐開至OE位置時(shí),測(cè)得∠OEC=30°,且此時(shí)遮陽傘邊沿上升的豎直高度BC為20cm,求若當(dāng)遮陽傘撐開至OE位置時(shí)傘下陰涼面積最大,求此時(shí)傘下半徑EC的長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))
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【題目】如圖,反比例函數(shù)經(jīng)過兩點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),連接,已知,,則_____.
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【題目】已知:在中,,都是的半徑,過作交于點(diǎn),過點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,點(diǎn)在上,連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接,若,求證:四邊形是平行四邊形;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)在上,連接,且,點(diǎn)在上,連接,,交于點(diǎn),且,若,,求的長(zhǎng).
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【題目】如圖,在⊙O中,C,D分別為半徑OB,弦AB的中點(diǎn),連接CD并延長(zhǎng),交過點(diǎn)A的切線于點(diǎn)E.
(1)求證:AE⊥CE.
(2)若AE=2,sin∠ADE=,求⊙O半徑的長(zhǎng).
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【題目】在中,,,.
(1)如圖1,折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處,折痕交、分別于點(diǎn)、,若,則________.
(2)如圖2,折疊使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處,折痕交、分別于點(diǎn)、.若,求證:四邊形是菱形;
(3)在(1)(2)的條件下,線段上是否存在點(diǎn),使得和相似?若存在,求出的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn) B(b,t)在直線x=b上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D、E、F分別為OB、0A、AB的中點(diǎn),其中b是大于零的常數(shù).
(1)判斷四邊形DEFB的形狀.并證明你的結(jié)論;
(2)試求四邊形DEFB的面積S與b的關(guān)系式;
(3)設(shè)直線x=b與x軸交于點(diǎn)C,問:四邊形DEFB能不能是矩形?若能.求出t的值;若不能,說明理由.
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