【題目】1)問題發(fā)現(xiàn):如圖(1),已知:在三角形中,,,直線經(jīng)過點直線直線,垂足分別為點,試寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系為_________________

2)思考探究:如圖(2),將圖(1)中的條件改為:在, 三點都在直線上,并且,其中為任意銳角或鈍角.請問(1)中結(jié)論還是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.

3)拓展應(yīng)用:如圖(3),三點所在直線上的兩動點,(三點互不重合),點平分線上的一點,且均為等邊三角形,連接,若,試判斷的形狀并說明理由.

【答案】1DE=CE+BD;(2)成立,理由見解析;(3)△DEF為等邊三角形,理由見解析.

【解析】

1)利用已知得出∠CAE=ABD,進而根據(jù)AAS證明△ABD與△CAE全等,然后進一步求解即可;

2)根據(jù),得出∠CAE=ABD,在△ADB與△CEA中,根據(jù)AAS證明二者全等從而得出AE=BDAD=CE,然后進一步證明即可;

3)結(jié)合之前的結(jié)論可得△ADB與△CEA全等,從而得出BD=AE,∠DBA=CAE,再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠ABF=CAF=60°,然后進一步證明△DBF與△EAF全等,在此基礎(chǔ)上進一步證明求解即可.

1)∵直線,直線,

∴∠BDA=AEC=90°

∴∠BAD+ABD=90°,

∵∠BAC=90°,

∴∠BAD+CAE=90°,

∴∠CAE=ABD,

在△ABD與△CAE中,

∵∠ABD=CAE,∠BDA=AEC,AB=AC,

∴△ABD≌△CAE(AAS),

BD=AE,AD=CE,

DE=AD+AE

DE=CE+BD

故答案為:DE=CE+BD;

2)(1)中結(jié)論還仍然成立,理由如下:

∴∠DBA+BAD=BAD+CAE=180°α

∴∠CAE=ABD,

在△ADB與△CEA中,

∵∠ABD=CAE,∠ADB=CEA,AB=AC

∴△ADB≌△CEA(AAS),

AE=BDAD=CE,

BD+CE=AE+AD=DE,

即:DE=CE+BD

3為等邊三角形,理由如下:

由(2)可知:△ADB≌△CEA

BD=EA,∠DBA=CAE,

∵△ABF與△ACF均為等邊三角形,

∴∠ABF=CAF=60°,BF=AF,

∴∠DBA+ABF=CAE+CAF,

∴∠DBF=FAE,

在△DBF與△EAF中,

FB=FA,∠FDB=FAE,BD=AE

∴△DBF≌△EAF(SAS),

DF=EF,∠BFD=AFE

∴∠DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60°,

∴△DEF為等邊三角形.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求點A,B,C的坐標(biāo).

(2)將該拋物線向上平移m個單位恰好經(jīng)過點D,且這時新拋物線交x軸于點M,N.

MN的長.

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2)點關(guān)于軸對稱點的坐標(biāo)為 ;

3)以、、為頂點的三角形的面積為

4)點軸上,且的面積等于的面積,點的坐標(biāo)為 .

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1)求兩點的坐標(biāo);

2)求

3)如圖2,點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為,為線段上一點,的延長線交線段于點,,求出點坐標(biāo).

4)如圖3,,軸正半軸上任意運動,的平分線的延長線于點,點的運動過程中,的值是否發(fā)生變化,若不變化,求出比值;若變化請說明理由.

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(2)連接OA,OC.求△AOC的面積.

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