Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，過A，B，D三點的⊙O分別交BC，CD于點E，M，且CE=1，下列結論：①DM=CM；②；③⊙O的直徑為2；④AE=AD．其中正確的結論有_____（填序號）．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

連接BD，BM，AM，EM，DE，由90度角所對的弦為直徑，得到BD為圓的直徑，再利用直徑所對的圓周角為直角，得到∠BMD為直角，利用三個角為直角的四邊形為矩形得到ADMB為矩形，利用矩形的對邊相等得到AB=DM=1，而CD=2，得到CM=1，可得出M為DC的中點，即DM=CM，故選項①正確；由AB與MC平行且相等，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，得到四邊形AMCB為平行四邊形，可得出BE∥AM，由圓內平行線所夾的弧相等，得出，故選項②正確；由AM=BC，BD=AM，等量代換得到BC=BD，由BD為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到△DEC為直角三角形，由DC與EC的長，利用勾股定理求出DE的長，設BE=x，則BD=BC=BE+EC=x+1，在Rt△BDE中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出BC的長，即為BD的長，確定出圓的直徑，即可對于選項③作出判斷；在Rt△DEC中，由M為CD的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DM與EM相等，都等于DC的一半，用HL定理證明Rt△AEM≌Rt△ADM，即可對于選項④作出判斷．

解：(1)連接BD，BM，AM，EM，DE，

∵∠BAD=90°，

∴BD為圓的直徑，

∴∠BMD=90°，

∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，

∴四邊形ADMB矩形，

∴AB=DM=1，

又∵CD=2，

∴CM=1

∴DM=CM，

故①正確。

∵AB∥MC，AB=MC，

∴四邊形AMCB是平行四邊形，

∴BE∥AM，

∴，

故②正確。

∵AM=BC，又BD=AM，

∴BD=BC，

∵BD是直徑，

∴∠BED=90°，即∠DEC=90°，

又CE=1，CD=2，根據勾股定理得：DE==，

設BE=x，BD=BC=BE+EC=x+1，

在Rt△BDE中，根據勾股定理得：BE2+DE2=BD2，即x2+=(x+1)2，

解得：x=1，

∴BD=2，

故③正確；

∵，

∴AB=EM=1，

∴DM=EM，

∵∠ADM=90，

∴AM是直徑，

∴∠AEM=∠ADM=90，

在Rt△AEM和Rt△ADM中，

，

∴Rt△AEM≌Rt△ADM（HL），

故選項④正確；

故答案為：①②③④