【題目】如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上,拋物線C2的頂點(diǎn)也在拋物線C1上,那么我們稱拋物線C1與C2為“互相關(guān)聯(lián)”的拋物線.如圖,已知拋物線與是“互相關(guān)聯(lián)”的拋物線,點(diǎn)A,B分別是拋物線C1,C2的頂點(diǎn),拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)D(6,-1).
(1)直接寫出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式.
(2)拋物線C2上是否存在點(diǎn)E,使得△ABE是以AB為直角邊的直角三角形?如果存在,請求出點(diǎn)E的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)A(-2,-1),B(2,3),;(2)存在,E的坐標(biāo)為(6,-1)或(10,-13).
【解析】
(1)由拋物線可得A(-2,-1),將,D(6,-1)代入C2:y2=ax2+x+c,求得y2=-x2+x+2,B(2,3).
(2)易得直線AB的解析式:,若B為直角頂點(diǎn),,E(6,-1);若A為直角頂點(diǎn),,E(10,-13).
(1)由拋物線可得
A(-2,-1)
由拋物線C2:y2=ax2+x+c過點(diǎn)A,D(6,-1)
得
解得
故拋物線C2的解析式為y2=-x2+x+2.
∵y2=-x2+x+2.
=(x-2)2+3,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,3).
(2)存在.
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,m2+m+2).
∵A(-2,-1),B(2,3),
∴AB2=(2+2)2+(3+1)2=32,
AE2=(m+2)2+(m2+m+2+1)2,
BE2=(m-2)2+(m2+m+2-3)2.
①當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時,有AB2+AE2=BE2,
即32+(m+2)2+(m2+m+2+1)2
=(m-2)2+(m2+m+2-3)2,
解得m1=-2(不合題意,舍去),m2=10,
∴E(10,-13).
②當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時,有AB2+BE2=AE2,
即32+(m-2)2+(m2+m+2-3)2
=(m+2)2+(m2+m+2+1)2,
解得m3=6,m4=2(不合題意,舍去),
∴E(6,-1).
綜上所述,當(dāng)E的坐標(biāo)為(6,-1)或(10,-13).
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【題目】如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,則__________(點(diǎn),,,,是網(wǎng)格線交點(diǎn)).
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【題目】如圖,正方形ABCD的點(diǎn)A,B點(diǎn)分別在x軸,y軸上,與雙曲線y=恰好交于BC的中點(diǎn)E,若OB=2OA,則S△ABO的值為( )
A.6B.8C.12D.16
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【題目】如圖,點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是邊CD上一點(diǎn),連接ED,EF,ED平分∠AEF,過點(diǎn)D作DG⊥EF于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)G,連接GE,GF,若FG∥DE,則 的值是( )
A.B.C.D.
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【題目】在四邊形ABCD中,點(diǎn)E是對角線BD上一點(diǎn),點(diǎn)Q是AD邊上一點(diǎn),BQ交AE于點(diǎn)P,∠ABQ=∠DAE,點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn).
(1)當(dāng)四邊形ABCD是正方形時,如圖(1).
①若BE=BA,求證:△ABP≌△EBP;
②若BE=4DE,求證:AF2=AQ·AD.
(2)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時,如圖(2),連接FQ,FD.若BE=4DE,求證:∠AFQ=∠ADF.
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【題目】草莓是種老少皆宜的食品,深受市民歡迎.今年3月份,甲,乙兩超市分別用3000元以相同的進(jìn)價購進(jìn)質(zhì)量相同的草莓.甲超市銷售方案是:將草莓按大小分類包裝銷售,其中大草莓400千克,以進(jìn)價的2倍價格銷售,剩下的小草莓以高于進(jìn)價的10%銷售.乙超市銷售方案是:不將草莓按大小分類,直接包裝銷售,價格按甲超市大、小兩種草莓售價的平均數(shù)定價.若兩超市將草莓全部售完,其中甲超市獲利2100元(其他成本不計).
(1)草莓進(jìn)價為每千克多少元?
(2)乙超市獲利多少元?并比較哪種銷售方式更合算.
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【題目】已知拋物線y=a(x2-cx-2c2)(a>0)交x軸于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C.
(1) 取A(-1,0),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為___________;
(2) 若A(-1,0),a=1,點(diǎn)P為第一象限的拋物線,以P為圓心,為半徑的圓恰好與AC相切,求P點(diǎn)坐標(biāo);
(3) 如圖,點(diǎn)R(0,n)在y軸負(fù)半軸上,直線RB交拋物線于另一點(diǎn)D,直線RA交拋物線于E.若DR=DB,EF⊥y軸于F,求的值.
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【題目】濟(jì)南市地鐵1號線于2019年1月1日起正式通車,在修建過程中,技術(shù)人員不斷改進(jìn)技術(shù),提高工作效率,如在打通一條長600米的隧道時,計劃用若干小時完成,在實(shí)際工作過程中,每小時打通隧道長度是原計劃的1.2倍,結(jié)果提前2小時完成任務(wù).
(1)求原計劃每小時打通隧道多少米?
(2)如果按照這個速度下去,后面的300米需要多少小時打通?
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【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn),直線l是拋物線的對稱軸.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn),當(dāng)△PAC的周長最小時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M,使△MAC為等腰三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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