【題目】在四邊形ABCD中,點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一點(diǎn),點(diǎn)QAD邊上一點(diǎn),BQAE于點(diǎn)P,∠ABQ=DAE,點(diǎn)FAB邊的中點(diǎn).

1)當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí),如圖(1).

①若BE=BA,求證:△ABP≌△EBP;

②若BE=4DE,求證:AF2=AQ·AD

2)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí),如圖(2),連接FQ,FD.若BE=4DE,求證:∠AFQ=ADF

【答案】1)①證明見(jiàn)解析;②證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

1)①由HL可證明RtABPRtEBP

②證明:過(guò)點(diǎn)EEGAD于點(diǎn)G可得△DEG∽△DBA,可得,以及△BAQ∽△AGE,可得,設(shè)DG=a,則GE=aDA=5a,AB=5aAG=4aAQ=,代入即可證明:AF2=AQ·AD;

2)延長(zhǎng)AE交于CD邊于點(diǎn)H,設(shè)DH=m,由ABCD,可得△DEH∽△BEA,可得AF=2m,由△BAQ∽△ADH,可得 AQ·DA=DH·AB=4m2=AF2,可證△AFQ∽△ADF,即可得出∠AFO=ADF

1)①證明:在正方形ABCD中,∠ABQ=DAE

∵∠ABQ+∠BAP=DAE+∠BAP=BAD=90°,

∴∠BPA=BPE=90°

RtABPRtEBP中,

RtABPRtEBP

②證明:過(guò)點(diǎn)EEGAD于點(diǎn)G,如圖

∴∠GED=BAD=90°

∵∠GDE=ADB

∴△DEG∽△DBA,

設(shè)DG=a,則GE=a

DA=5a,AB=5aAG=4a

∵∠ABQ=DAE,∠BAQ=AGE,

∴△BAQ∽△AGE,

AQ=

FAB邊的中點(diǎn),

又∵AQ·AD=,

AF2=AQ·AD

2)證明:延長(zhǎng)AE交于CD邊于點(diǎn)H,設(shè)DH=m

∵四邊形ABCD是矩形,

ABCD,

∴△DEH∽△BEA,

AB=4m,

AF=2m

∵∠BAQ=APB=90°

∴∠ABQ+BAP=DAH+BAP=90°

∴∠ABQ=DAH

∵∠BAQ=ADH=90°,∠ABQ=DAH

∴△BAQ∽△ADH,,

AQ·DA=DH·AB=4m2=AF2

又∠FAO=DAF,

∴△AFQ∽△ADF,

∴∠AFO=ADF

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(注:記,,,

請(qǐng)依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果回答以下問(wèn)題:

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1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式.

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①直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo);

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