【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)R(1,0),點(diǎn)K(4,4),直線y=- x+b過點(diǎn)K , 分別交x軸、y軸于U、V兩點(diǎn),以點(diǎn)R為圓心, RK為半徑作⊙R , ⊙R交x軸于A.
(1)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B(-2,0)、C(0,-8),求二次函數(shù)的解析式;
(2)判斷直線UV與⊙R的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若動點(diǎn)P、Q同時從A點(diǎn)都以相同的速度分別沿AB、AC邊運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到B點(diǎn)時,點(diǎn)Q停止運(yùn)動,這時,在x軸上是否存在點(diǎn)E , 使得以A、E、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在,請求出E點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
由K(4,4),R(1,0),
則RK=,
則OA=6,∴A(6,0),
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-6),
把C(0,-8)代入得-8=a(0+2)(0-6),
解得a=
∴y= (x+2)(x-6)= x2- x-8
(2)
直線UV與⊙R相切
理由如下:
∵點(diǎn)K(4,4),直線y=-x+b過點(diǎn)K,∴b=7
對于y=-x+7,當(dāng)x=0時,y=7;當(dāng)y=0時,x=
∴U(,0),V(0,7),∴OU=,OV=7
連接RK,過K作KH⊥x軸于H
則RH=3,UH=-4=,KH=4
∴ = =,
又∠RHK=∠KHU=90°,∴△RKH∽△KUH
∴∠KRH=∠UKH
∵∠RKH+∠KRH=90°,∴∠RKH+∠UKH=90°
即RK⊥UV
∴直線UV與⊙R相切
(3)
存在
分三種情況討論:
①若EQ=EA,作EG⊥AQ于G
則AG=GQ=AQ=AB=4
∵∠EAG=∠CAO,∠AGE=∠AOC=90°
∴△EAG∽△CAO,∴=
∵OA=6,OC=8,∴AC=10
∴ = ,∴AE= ,∴OE= -6=
∴E1(- ,0),
②若AE=AQ=8,則E2(-2,0),E3(14,0)
③QE=QA,作QH⊥x軸于H,則QH∥y軸
∴=,∴ =
∴AH= ,∴EH=AH= ,OH=6- = ,∴EO= - =
∴E4(- ,0)
綜上,滿足條件的E點(diǎn)有四個,E1(- ,0),E2(-2,0),E3(14,0),E4(- ,0)
【解析】(1)要求拋物線解析式,先要求出點(diǎn)A的坐標(biāo),由OA=OR+RA,而RA是⊙R的半徑,由R(1,0),K(4,4)可求出半徑的長,從而可求得OA,即A的坐標(biāo),由A,B,是拋物線與x軸的交點(diǎn),則可設(shè)兩點(diǎn)式y(tǒng)=a(x+2)(x-6),再代入C的坐標(biāo),即可求出a的值;
(2)連接RK,則需證RK⊥UV , 可先根據(jù)點(diǎn)K(4,4),直線y=-x+b過點(diǎn)K , 求出點(diǎn)b值,再求出U,V的坐標(biāo);不能直接運(yùn)用勾股定理證明△RKU是直角三角形,則可過K作KH⊥x軸于H , 證明 = = , 又∠RHK=∠KHU=90°,則△RKH∽△KUH , 根據(jù)角的直角三角形的兩個銳角和為90度,即可轉(zhuǎn)換得到∠RKH+∠UKH=90°;
(3)此題需作分類討論:①若EQ=EA , 作EG⊥AQ于G , 通過證明△EAG∽△CAO , 由相應(yīng)邊成比例=代入相應(yīng)數(shù)據(jù)即可解出AE,則可得E的坐標(biāo);②若AE=AQ=8,由A的坐標(biāo)直接可寫出E的坐標(biāo);③若QE=QA , 根據(jù)相似構(gòu)造平行線作QH⊥x軸于H , 則QH∥y軸,則由平行線分線段成比例可得=,代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求出AH,則可求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
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【題目】某小組同學(xué)在一周內(nèi)閱讀課外科普讀物與人數(shù)情況如表所示:
課外科普讀物(本數(shù)) | 4 | 5 | 6 |
人數(shù) | 3 | 2 | 1 |
下列關(guān)于“課外科普讀物”這組數(shù)據(jù)敘述正確的是
A.中位數(shù)是3
B.眾數(shù)是4
C.平均數(shù)是5
D.方差是6
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【題目】小明家1至6月份的用水量統(tǒng)計如圖所示,關(guān)于這組數(shù)據(jù),下列說法錯誤的是( ).
A、眾數(shù)是6噸 B、平均數(shù)是5噸 C、中位數(shù)是5噸 D、方差是
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【題目】如圖是某年的日歷表,在此日歷表上可以用一個矩形圈出3×3個位置的9個數(shù)(如3,4,5,10,11,12,17,18,19).若用這樣的矩形圈圈這張日歷表的9個數(shù),則圈出的9個數(shù)的和不可能為下列數(shù)中的( 。
A. 81 B. 90 C. 108 D. 216
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【題目】如圖,已知A、B兩地相距4千米,上午11:00,甲從A地出發(fā)步行到B地,11:20乙從B地出發(fā)騎自行車到A地,甲乙兩人離A地的距離(千米)與甲所用時間(分)之間的關(guān)系如圖所示,由圖中的信息可知,乙到達(dá)A地的時間為( 。
A. 上午11:40 B. 上午11:35 C. 上午11:45 D. 上午11:50
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【題目】如圖,正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2……按照如圖所示的方式放置,點(diǎn)A1、A2、A3、…和點(diǎn)C1、C2、C3、…分別在直線y=kx+b(k>0)和x軸上,已知B1(1,1),B2(3,2),B3(7,4)則B2018的坐標(biāo)是_____.
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【題目】如圖,∠ABD和∠BDC的平分線交于點(diǎn)E,BE的延長線交CD于點(diǎn)F,且∠1+∠2=90°.猜想∠2與∠3的關(guān)系并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),連接AE,將△ABE沿AE折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,連接FC,則sin∠ECF=( )
A.
B.
C.
D.
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