【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y = ax2+ bx + c經(jīng)過AB、C三點,已知點A-3,0),B0,3),C1,0).

1)求此拋物線的解析式;

2)點P是直線AB上方的拋物線上一動點,(不與點A、B重合),過點Px軸的垂線,垂足為F,交直線AB于點E,作PDAB于點D.動點P在什么位置時,PDE的周長最大,求出此時P點的坐標(biāo);

3)在直線x = -2上是否存在點M,使得∠MAC = 2MCA,若存在,求出M點坐標(biāo).若不存在,說明理由.

【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2)點(-),PDE的周長最大;(3)點M-2,)或(-2,-).

【解析】

1)將AB、C三點代入,利用待定系數(shù)法求解析式;

2)根據(jù)坐標(biāo)發(fā)現(xiàn),△AOB是等腰直角三角形,故只需使得PD越大,則△PDE的周長越大.聯(lián)立直線AB與拋物線的解析式可得交點P坐標(biāo);

3)作點A關(guān)于直線x=-2的對稱點D,利用∠MAC = 2MCA可推導(dǎo)得MD=CD,進(jìn)而求得ME的長度,從而得出M坐標(biāo)

解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A-3,0),B0,3),C1,0),

,解得:,

所以,拋物線的解析式為y=-x2-2x+3

2)∵A-3,0),B0,3),

OA=OB=3,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°,

PFx軸,∴∠AEF=90°-45°=45°,

又∵PDAB,∴△PDE是等腰直角三角形,

PD越大,△PDE的周長越大,易得直線AB的解析式為y=x+3,

設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m,

聯(lián)立,消掉y得,x2+3x+m-3=0,

當(dāng)△=9-4m-3=0,即m=時,直線與拋物線只有一個交點,PD最長,

此時x=-,y=,∴點(-,),△PDE的周長最大;

3)設(shè)直線x=-2x軸交于點E,作點A關(guān)于直線x=-2的對稱點D,則D-10),連接MA,MDMC

MA=MD,∠MAC=MDA=2MCA

∴∠CMD=DCM

MD=CD=2 , ME=

∴點M-2,)或(-2,-).

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