【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+bx+c交y軸于點(diǎn)A(0,4),交x軸于點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),試過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線1,再過(guò)點(diǎn)A作1的垂線,垂足為Q,連接AP.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若△AQP∽△AOC,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo);
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P位于拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí),若將△APQ沿AP對(duì)折,點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q′,請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)Q′落在坐標(biāo)軸上時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(﹣1,0);(2)P的橫坐標(biāo)為或.(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0)或(5,﹣6)或(2,6).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式,然后利用拋物線解析式得到一元二次方程,通過(guò)解一元二次方程得到C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)利用△AQP∽△AOC得到AQ=4PQ,設(shè)P(m,﹣m2+3m+4),所以m=4|4﹣(﹣m2+3m+4|,然后解方程4(m2﹣3m)=m和方程4(m2﹣3m)=﹣m得P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)設(shè)P(m,﹣m2+3m+4)(m>),當(dāng)點(diǎn)Q′落在x軸上,延長(zhǎng)QP交x軸于H,如圖2,則PQ=m2﹣3m,證明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP,利用相似比得到Q′B=4m﹣12,則OQ′=12﹣3m,在Rt△AOQ′中,利用勾股定理得到方程42+(12﹣3m)2=m2,然后解方程求出m得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)Q′落在y軸上,易得點(diǎn)A、Q′、P、Q所組成的四邊形為正方形,利用PQ=PQ′得到|m2﹣3m|=m,然后解方程m2﹣3m=m和方程m2﹣3m=﹣m得此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)把A(0,4),B(4,0)分別代入y=﹣x2+bx+c得,解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+3x+4,
當(dāng)y=0時(shí),﹣x2+3x+4=0,解得x1=﹣1,x2=4,
∴C(﹣1,0);
故答案為y=﹣x2+3x+4;(﹣1,0);
(2)∵△AQP∽△AOC,
∴,
∴,即AQ=4PQ,
設(shè)P(m,﹣m2+3m+4),
∴m=4|4﹣(﹣m2+3m+4|,即4|m2﹣3m|=m,
解方程4(m2﹣3m)=m得m1=0(舍去),m2=,此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為;
解方程4(m2﹣3m)=﹣m得m1=0(舍去),m2=,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為;
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)或(,);
(3)設(shè),
當(dāng)點(diǎn)Q′落在x軸上,延長(zhǎng)QP交x軸于H,如圖2,
則PQ=4﹣(﹣m2+3m+4)=m2﹣3m,
∵△APQ沿AP對(duì)折,點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q',
∴∠AQ′P=∠AQP=90°,AQ′=AQ=m,PQ′=PQ=m2﹣3m,
∵∠AQ′O=∠Q′PH,
∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP,
∴,即,解得Q′H=4m﹣12,
∴OQ′=m﹣(4m﹣12)=12﹣3m,
在Rt△AOQ′中,42+(12﹣3m)2=m2,
整理得m2﹣9m+20=0,解得m1=4,m2=5,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)或(5,﹣6);
當(dāng)點(diǎn)Q′落在y軸上,則點(diǎn)A、Q′、P、Q所組成的四邊形為正方形,
∴PQ=AQ′,
即|m2﹣3m|=m,
解方程m2﹣3m=m得m1=0(舍去),m2=4,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0);
解方程m2﹣3m=﹣m得m1=0(舍去),m2=2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,6),
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0)或(5,﹣6)或(2,6)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某飾品店老板去批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買新款手鏈,第一次購(gòu)手鏈共用1000元,將該手鏈以每條定價(jià)28元銷售,并很快售完,所得利潤(rùn)率高于30%.由于該手鏈深得年輕人喜愛(ài),十分暢銷,第二次去購(gòu)進(jìn)手鏈時(shí),每條的批發(fā)價(jià)已比第一次高5元,共用去了1500元,所購(gòu)數(shù)量比第一次多10條.當(dāng)這批手鏈以每條定價(jià)32元售出80%時(shí),出現(xiàn)滯銷,便以5折價(jià)格售完剩余的手鏈.現(xiàn)假設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)手鏈的批發(fā)價(jià)為x元/條.
(1)用含x的代數(shù)式表示:第一次購(gòu)進(jìn)手鏈的數(shù)量為 條;
(2)求x的值;
(3)不考慮其他因素情況下,試問(wèn)該老板第二次售手鏈?zhǔn)琴r錢了,還是賺錢了?若賠錢,賠多少?若賺錢,賺多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于四個(gè)數(shù)“,,,”及四種運(yùn)算“,,,”,列算式解答:
(1)求這四個(gè)數(shù)的和;
(2)在這四個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù),按要求進(jìn)行下列計(jì)算,使得:
①兩數(shù)差的結(jié)果最小;
②兩數(shù)積的結(jié)果最大;
(3)在這四個(gè)數(shù)中選出三個(gè)數(shù),在四種運(yùn)算中選出兩種,組成一個(gè)算式,使運(yùn)算結(jié)果等于沒(méi)選的那個(gè)數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新冠肺炎疫情發(fā)生后,為支援疫情防控,某企業(yè)研發(fā)14條口罩生產(chǎn)線,生產(chǎn)普通防護(hù)口罩和普通N95口罩,現(xiàn)日總產(chǎn)量達(dá)170萬(wàn)只.已知每條生產(chǎn)線可日產(chǎn)普通防護(hù)口罩15萬(wàn)只或普通N95口罩5萬(wàn)只.
(1)將170萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為 ;
(2)這14條生產(chǎn)線中,生產(chǎn)普通防護(hù)口罩和普通N95口罩的生產(chǎn)線分別有多少條?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解同學(xué)們每月零花錢的數(shù)額,校園小記者隨機(jī)調(diào)查了本校部分同學(xué),根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
組別 | A | B | C | D | E |
分組(元) | 0≤x<30 | 30≤x<60 | 60≤x<90 | 90≤x<120 | 120≤x<150 |
頻數(shù) | 4 | a | 20 | 8 | 2 |
請(qǐng)根據(jù)以上圖標(biāo),解答下列問(wèn)題:
(1)填空:這次調(diào)查的樣本容量是 ,a= ,m= ;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形B的圓心角度數(shù);
(4)該校共有1000人,請(qǐng)估計(jì)每月零花錢的數(shù)額x在30≤x<90范圍的人數(shù);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,按以下步驟作圖:
①分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心,大于的同樣的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于M,N兩點(diǎn);
②作直線MN,交CD于點(diǎn)E,連接BE.
若直線MN恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.ABC60°
B.
C.若AB4,則BE
D.tanCBE
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,為直徑,過(guò)點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn),是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn),,的平分線與分別相交于點(diǎn),,是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,與,的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn),.
(1)求證:是的切線;
(2)若,.
①求的半徑;
②連接,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為向明中學(xué)提供午餐的某送餐公司計(jì)劃每月最后一天推出學(xué)生“驚喜套餐”,現(xiàn)做出幾款套餐后打算每班邀請(qǐng)一位學(xué)生代表來(lái)品嘗.初三(6)班有44人(學(xué)號(hào)從1~44號(hào)),班長(zhǎng)設(shè)計(jì)了一個(gè)推選本班代表的辦法:從一副撲克牌中選取了分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的四張牌.先抽取一張牌記下數(shù)字后,放回洗勻;再抽取一張牌記下數(shù)字,兩個(gè)數(shù)字依次組成學(xué)生代表的學(xué)號(hào).比如第一張抽到1,第二張抽到4,就是學(xué)號(hào)為14的這個(gè)同學(xué)作為本班代表.
(1)如果小林的學(xué)號(hào)為23,請(qǐng)用列表法或畫出樹狀圖的方法,求出他被抽到的概率;
(2)對(duì)初三(6)班的每位同學(xué)來(lái)說(shuō),班長(zhǎng)設(shè)計(jì)的辦法是否公平?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某學(xué)校旗桿AB旁邊有一個(gè)半側(cè)的時(shí)鐘模型,時(shí)鐘的9點(diǎn)和3點(diǎn)的刻度線剛好和地面重合,半圓的半徑2m,旗桿的底端A到鐘面9點(diǎn)刻度C的距離為11m,一天小明觀察到陽(yáng)光下旗桿頂端B的影子剛好投到時(shí)鐘的11點(diǎn)的刻度上,同時(shí)測(cè)得1米長(zhǎng)的標(biāo)桿的影長(zhǎng)1.2m.求旗桿AB的高度.
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