【題目】如圖,在中,為直徑,過點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn),是弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn),,的平分線與分別相交于點(diǎn),,是的中點(diǎn),過點(diǎn)作,與,的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn),.
(1)求證:是的切線;
(2)若,.
①求的半徑;
②連接,求的值.
【答案】(1)見解析;(2)①13;②
【解析】
(1)如圖1,連接GO、GA,先根據(jù)角平分線的定義證明∠MAE=(∠BAC+∠BAD)=90°,由圓周角定理和同圓的半徑相等得∠OGA=∠FAG,則OG∥AM,所以∠MGO=180-∠M=90,從而得結(jié)論;
(2)①延長(zhǎng)GO交AE于點(diǎn)P,證明四邊形MGPA為矩形,得GP=MA=18,∠GPA=90°,設(shè)OA=OG=r,則OP=18-r,根據(jù)勾股定理列方程解出即可;
②如圖3,過M作MH⊥l,連接BC,延長(zhǎng)NE交l于I,連接GO交延長(zhǎng)交AE于P,tan∠MAH=tan∠ABE=tan∠BIA=,BI=2BE=20,根據(jù)三角函數(shù)計(jì)算MH,AH,CI的長(zhǎng),最后計(jì)算MH和HC的長(zhǎng),代入tan∠MCD=,可得結(jié)論.
(1)證明:如圖1,連接,,
∵,的平分線與分別相交于點(diǎn),,
∴.
∵,
∴.
∵是的中點(diǎn),
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
∵為半徑,
∴是的切線.
(2)解:①如圖2,連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),
∵,
∴四邊形為矩形,
∴,,即,
∴.
設(shè),則,
在中,∵,
∴,
解得:,
故的半徑是13.
②如圖3,過作,連接,延長(zhǎng)交于,連接并延長(zhǎng)交于,
由①知:,,
∴.
∵是的直徑,
∴.
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,.
∵,,,
∴,,,
∴,
∴,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A是雙曲線y=上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AO并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)B,將線段AB繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BC,點(diǎn)C在雙曲線y=上的運(yùn)動(dòng),則k=____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(﹣3,0),B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為D,連接AD,點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A,D重合),過點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足點(diǎn)為E,連接AE.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),△PAE的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,直接寫出自變量x的取值范圍,并求出S的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+bx+c交y軸于點(diǎn)A(0,4),交x軸于點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),試過點(diǎn)P作x軸的垂線1,再過點(diǎn)A作1的垂線,垂足為Q,連接AP.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若△AQP∽△AOC,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo);
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P位于拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí),若將△APQ沿AP對(duì)折,點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q′,請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)Q′落在坐標(biāo)軸上時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,對(duì)角線、交于,以為圓心、長(zhǎng)為半徑畫弧,交于點(diǎn),若點(diǎn)恰好在圓弧上,且,則陰影部分的面積為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于一個(gè)函數(shù),自變量x取a時(shí),函數(shù)值y也等于a,我們稱a為這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).如果二次函數(shù)y=x2+2x+c有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)x1、x2,且x1<1<x2,則c的取值范圍是( )
A. c<﹣3B. c<﹣2C. c<D. c<1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法不正確的是( )
A.機(jī)場(chǎng)對(duì)乘客進(jìn)行安檢不能采用抽樣調(diào)查
B.一組數(shù)據(jù)10,11,12,9,8的平均數(shù)是10,方差是2
C.“清明時(shí)節(jié)雨紛紛”是隨機(jī)事件
D.一組數(shù)據(jù)6,5,3,5,4的眾數(shù)是5,中位數(shù)是3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(問題提出):有同樣大小正方形256個(gè),拼成如圖1所示的的一個(gè)大的正方形.請(qǐng)問如果用一條直線穿過這個(gè)大正方形的話,最多可以穿過多少個(gè)小正方形?
(問題探究):我們先考慮以下簡(jiǎn)單的情況:一條直線穿越一個(gè)正方形的情況.(如圖2)
從圖中我們可以看出,當(dāng)一條直線穿過一個(gè)小正方形時(shí),這條直線最多與正方形上、下、左、右四條邊中的兩個(gè)邊相交,所以當(dāng)一條直線穿過一個(gè)小正方形時(shí),這條直線會(huì)與其中某兩條邊產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn),并且以兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的線段會(huì)全部落在小正方形內(nèi).
這就啟發(fā)我們:為了求出直線最多穿過多少個(gè)小正方形,我們可以轉(zhuǎn)而去考慮當(dāng)直線穿越由小正方形拼成的大正方形時(shí)最多會(huì)產(chǎn)生多少個(gè)交點(diǎn).然后由交點(diǎn)數(shù)去確定有多少根小線段,進(jìn)而通過線段的根數(shù)確定下正方形的個(gè)數(shù).
再讓我們來考慮正方形的情況(如圖3):
為了讓直線穿越更多的小正方形,我們不妨假設(shè)直線右上方至左下方穿過一個(gè)的正方形,我們從兩個(gè)方向來分析直線穿過正方形的情況:從上下來看,這條直線由下至上最多可穿過上下平行的兩條線段;從左右來看,這條直線最多可穿過左右平行的四條線段;這樣直線最多可穿過的大正方形中的六條線段,從而直線上會(huì)產(chǎn)生6個(gè)交點(diǎn),這6個(gè)交點(diǎn)之間的5條線段,每條會(huì)落在一個(gè)不同的正方形內(nèi),因此直線最多能經(jīng)過5個(gè)小正方形.
(問題解決):
(1)有同樣大小的小正方形16個(gè),拼成如圖4所示的的一個(gè)大的正方形.如果用一條直線穿過這個(gè)大正方形的話,最多可以穿過_________個(gè)小正方形.
(2)有同樣大小的小正方形256個(gè),拼成的一個(gè)大的正方形.如果用一條直線穿過這個(gè)大正方形的話,最多可以穿過___________個(gè)小正方形.
(3)如果用一條直線穿過的大正方形的話,最多可以穿過___________個(gè)小正方形.
(問題拓展):
(4)如果用一條直線穿過的大長(zhǎng)方形的話(如圖5),最多可以穿過個(gè)___________小正方形.
(5)如果用一條直線穿過的大長(zhǎng)方形的話(如圖6),最多可以穿過___________個(gè)小正方形.
(6)如果用一條直線穿過的大長(zhǎng)方形的話,最多可以穿過________個(gè)小正方形.
(類比探究):
由二維的平面我們可以聯(lián)想到三維的立體空間,平面中的正方形中四條邊可聯(lián)想到正方體中的正方形的六個(gè)面,類比上面問題解決的方法解決如下問題:
(7)如圖7有同樣大小的小正方體8個(gè),拼成如圖所示的的一個(gè)大的正方體.如果用一條直線穿過這個(gè)大正方體的話,最多可以穿過___________個(gè)小正方體.
(8)如果用一條直線穿過的大正方體的話,最多可以穿過_________個(gè)小正方體.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,D是邊AC的中點(diǎn),CE⊥BD于E.若F是邊AB上的點(diǎn),且使△AEF為等腰三角形,則AF的長(zhǎng)為_____.
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