Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB長為6，弦AC長為2，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D．

（1）求BD的長；

（2）將△ADC繞D點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，請(qǐng)補(bǔ)充旋轉(zhuǎn)后圖形，并計(jì)算CD的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4+.

【解析】

（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)其解即可；

（2）延長CB到C′，使C′B=AC，連接C′D，根據(jù)勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)求出∠CAD+∠DBC=180°，從而得到旋轉(zhuǎn)后AD與BD重合，C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′與B、C在同一直線上，然后判斷出△C′DC為等腰直角三角形，再求出CC′，然后根據(jù)等腰直角三角形的直角邊等于斜邊的倍計(jì)算即可得解．

解：（1）∵AB是直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∵∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，

∴∠DCA=∠BCD，

∴

∴AD=BD，

∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=×6=3；

（2）延長CB到C′，使C′B=AC，連接C′D

在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，

∴BC=，

∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠CAD+∠DBC=180°，

∴△ADC繞D點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，AD與BD重合，C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′與B、C在同一直線上，且△C′DC為等腰直角三角形，

∵C′C=AC+BC=2+4，

∴在Rt△C′DC中，CD=C′D=C′C=4+．