Question

【題目】如圖，在△ABC中，BC=6，AB=AC，E，F(xiàn)分別為AB，AC上的點（E，F(xiàn)不與A重合），且EF∥BC．將△AEF沿著直線EF向下翻折，得到△A′EF，再展開．

（1）請判斷四邊形AEA′F的形狀，并說明理由；

（2）當四邊形AEA′F是正方形，且面積是△ABC的一半時，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）四邊形AEA′F為菱形．理由見解析；（2）3．

【解析】

（1）先證明AE=AF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AE=A′E，AF=A′F，然后根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形AEA′F為菱形；（2）四先利用四邊形AEA′F是正方形得到∠A=90°，則AB=AC=BC=6，然后利用正方形AEA′F的面積是△ABC的一半得到AE2=66，然后利用算術(shù)平方根的定義求AE即可．

（1）四邊形AEA′F為菱形．

理由如下：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，

∵△AEF沿著直線EF向下翻折，得到△A′EF，

∴AE=A′E，AF=A′F，

∴AE=A′E=AF=A′F，

∴四邊形AEA′F為菱形；

（2）∵四邊形AEA′F是正方形，

∴∠A=90°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴AB=AC=BC=×6=6，

∵正方形AEA′F的面積是△ABC的一半，

∴AE2=66，

∴AE=3．