Question

【題目】如圖，圖1是△ABC，圖2是“8字形”（將線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB形成的圖形），圖3是一個五角星形狀，試解答下列問題：

(1)圖1的△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝_____，并證明你寫出的結(jié)論；（要有推理證明過程）

(2)圖2的“8字形”中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：_____；

(3)若在圖2的條件下，作∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N(如圖4)．請直接寫出∠P與∠D、∠B之間數(shù)量關(guān)系：____；

(4)圖3中的點A向下移到線段BE上時，請直接寫出∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝____．

Answer 1

【答案】 180° ∠A+∠D=∠C+∠B ∠P=（∠D+∠B） 180°

【解析】試題分析：（1）先過A點作EF∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠B=∠EAB，∠C=∠CAF，再根據(jù)∠EAB+∠A+∠CAF=180°，即可證出∠A+∠B+∠C的度數(shù)；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)對頂角的性質(zhì)，得出∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，即可得出∠D-∠P=∠P-∠B，最后進行整理即可．

（4）根據(jù)兩個內(nèi)角之和等于和它不相鄰的一個外角得出∠CAD+∠D=∠CFG，∠B+∠E=∠CGF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得出答案．

試題解析：（1）過A點作EF∥BC，

∵EF∥BC，

∴∠B=∠EAB，∠C=∠CAF，

∵∠EAB+∠A+∠CAF=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°；

（2）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，

又∵∠AOD=∠BOC（對頂角相等），

∴∠A+∠D=∠C+∠B；

（3）∵AP、CP是∠DAB、∠BCD的平分線，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，

∴∠D-∠P=∠P-∠B，

∴∠P=（∠D+∠B）；

（4）∵∠CAD+∠D=∠CFG，∠B+∠E=∠CGF，

又∵∠C+∠CFG+∠CGF=180°，

∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；