【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,AD∥BC,DB=DC=EC,∠A=2∠ADB,AD=m,AB=n.

(1)在圖1中找出與∠ABD相等的角,并加以證明;

(2)求BE的長;

(3)將△ABD沿BD翻折,得到△A′BD.若點(diǎn)A′恰好落在EC上(如圖2),求的值.

【答案】(1)見解析   2) (3)

【解析】(1)由平行線的性質(zhì)知∠DBC=ADB,由DB=DC,得出∠DCB=DBC=ADB,由DC=EC,得出∠CDE=CED=DBC+∠BCE=ADB+∠BCE,再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果;

(2)在BC上取一點(diǎn)F,使CF=AB=n,連接EF,由SAS證得△ABD≌△FCE,得出∠EFC=DAB=2ADB,FEC=ADB,EF=AD=m,推出∠BEF=EFC﹣EBC=2ADB﹣ADB=ADB=EBF,BF=EF=m,BC=BF+FC=m+n,再由△EBC∽△ADB,得出==,代入數(shù)值即可得出結(jié)果;

(3)由折疊性質(zhì)知A′B=AB=n,A′BE=ABE,由△A′EB∽△BEC,得出==,代入數(shù)值即可得出結(jié)果.

解:(1)BCE=ABD,理由如下:

ADBC,

∴∠DBC=ADB,

DB=DC,

∴∠DCB=DBC=ADB,

DC=EC,

∴∠CDE=CED=DBC+∠BCE=ADB+∠BCE,

∵∠DBC+∠DCB+∠CDB=180°,即∠ADB+∠ADB+ADB+∠BCE)=3ADB+∠BCE=180°,

又∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°,A=2ADB,

3ADB+∠ABD=180°,

∴∠BCE=ABD;

(2)在BC上取一點(diǎn)F,使CF=AB=n,連接EF,如圖1所示:

由(1)知:∠ABD=FCE,

在△ABD和△FCE中,

∴△ABD≌△FCE(SAS),

∴∠EFC=DAB=2ADB,FEC=ADB,EF=AD=m,

∴∠BEF=EFC﹣EBC=2ADB﹣ADB=ADB=EBF,

BF=EF=m,BC=BF+FC=m+n,

∵∠EBC=ADB,BCE=DBA,

∴△EBC∽△ADB,

==,即: ==,

DB=

BE=;

(3)∵將△ABD沿BD翻折,得到△A′BD,點(diǎn)A′恰好落在EC上,

A′B=AB=n,A′BE=ABE,

由(1)知:∠ABE=BCE,

∴∠A′BE=BCE,

∵∠A′EB=BEC,

∴△A′EB∽△BEC,

==,即: =,

整理得:m2+mn﹣n2=0,即(2+﹣1=0,

解得: =(負(fù)值舍去),

=

“點(diǎn)睛”本題主要考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí);熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

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(2)第二步使用的運(yùn)算法則用字母表示為;
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(1)填空:等邊三角形ABC的邊長為_____,圖2中a的值為_____;

(2)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出x的取值范圍.

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