【題目】如圖,拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),且此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(-1,4).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)D為已知拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn),當(dāng)△ACD面積等于6時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P在線段AM上,當(dāng)PC與y軸垂直時(shí),過點(diǎn)P作軸的垂線,垂足為E,將△PCE沿直線CB翻折,使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'與P、E、C處在同一平面內(nèi),請(qǐng)求出P'坐標(biāo),并判斷點(diǎn)P'是否在拋物線上.
【答案】(1) ;M(-1,4);(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,-2)或(-1,6).
;(3)點(diǎn)P′不在該拋物線上.
【解析】分析:(1)由拋物線經(jīng)過的C點(diǎn)坐標(biāo)以及頂點(diǎn)M的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣1,yD),根據(jù)△ACD的面積=6,即可得出關(guān)于yD含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程,解方程即可得出結(jié)論;
(3)作點(diǎn)P關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)P′,過點(diǎn)P′作PH⊥y軸于H,設(shè)P′E交y軸于點(diǎn)N.根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)即可得出△EON≌△CP′N,從而得出CN=NE,由點(diǎn)A、M的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AM的解析式,進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo).在Rt△P′NC中,由勾股定理可求出CN的值,再由相似三角形的性質(zhì)以及線段間的關(guān)系即可找出點(diǎn)P′的坐標(biāo),將其代入拋物線解析式中看等式是否成立,由此即可得出結(jié)論.
詳解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為M(﹣1,4),∴,解得:,∴所求拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3.
(2)依照題意畫出圖形,如圖1所示.
令y=﹣x2﹣2x+3=0,解得:x=﹣3或x=1,故A(﹣3,0),B(1,0),∴OA=OC,△AOC為等腰直角三角形.
設(shè)AC交對(duì)稱軸x=﹣1于F(﹣1,yF),由點(diǎn)A(﹣3,0)、C(0,3)可知直線AC的解析式為y=x+3,∴yF=﹣1+3=2,即F(﹣1,2).
設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣1,yD),則S△ADC=DFAO=×|yD﹣2|×3=6.
解得:yD=﹣2或yD=6,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,﹣2)或(﹣1,6).
(3)如圖2,點(diǎn)P′為點(diǎn)P關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn),過點(diǎn)P′作PH⊥y軸于H,設(shè)P′E交y軸于點(diǎn)N.
在△EON和△CP′N中,,∴△EON≌△CP′N(AAS).
設(shè)NC=m,則NE=m.
∵A(﹣3,0)、M(﹣1,4)可知直線AM的解析式為y=2x+6,∴當(dāng)y=3時(shí),x=﹣,即點(diǎn)P(﹣,3),∴P′C=PC=,P′N=3﹣m.在Rt△P′NC中,由勾股定理,得:+(3﹣m)2=m2,解得:m=.
∵S△P′NC=CNP′H=P′NP′C,∴P′H=.
由△CHP′∽△CP′N可得:,∴CH==,∴OH=3﹣=,∴P′的坐標(biāo)為().
將點(diǎn)P′()代入拋物線解析式,得:y=﹣﹣2×+3=≠,∴點(diǎn)P′不在該拋物線上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知平行四邊形,延長(zhǎng)到,使,連接與交于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)當(dāng)時(shí),連續(xù),,求證:四邊形為矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y=x,點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(1,0),過點(diǎn)A1作x軸的垂線交直線于點(diǎn)B1,以原點(diǎn)O為圓心,OB1的長(zhǎng)為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)A2;再過點(diǎn)A2作x軸的垂線交直線于點(diǎn)B2,以原點(diǎn)O為圓心,OB2的長(zhǎng)為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)A3,…,按此做法進(jìn)行下去,則點(diǎn)A6的坐標(biāo)為____________.
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【題目】學(xué)校計(jì)劃選購(gòu)甲、乙兩種圖書作為“校園讀書節(jié)”的獎(jiǎng)品.已知甲圖書的單價(jià)是乙圖書單價(jià)的倍;用元單獨(dú)購(gòu)買甲種圖書比單獨(dú)購(gòu)買乙種圖書要少本.
(1)甲、乙兩種圖書的單價(jià)分別為多少元?
(2)若學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買這兩種圖書共本,且投入的經(jīng)費(fèi)不超過元,要使購(gòu)買的甲種圖書數(shù)量不少于乙種圖書的數(shù)量,則共有幾種購(gòu)買方案?
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【題目】如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根,且其中一個(gè)根為另一根的2倍,則稱這樣的方程為“倍根方”,以下關(guān)于倍根方程的說(shuō)法正確的是______(填正確序號(hào))
①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程.
②若(x﹣2)(mx+n)=0是倍根方程,則4m2+5mn+n2=0.
③若點(diǎn)(p,q)在反比例函數(shù)y=的圖象上,則關(guān)于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程.
④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程且相異兩點(diǎn)M(1+t,s)、N(4﹣t,s)都在拋物線y=ax2+bx+c上,則方程ax2+bx+c=0必有一個(gè)根為.
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【題目】如圖,等腰三角形ABC的底邊BC長(zhǎng)為4,面積是16,腰AC的垂直平分線EF分別交AC,AB邊于E,F點(diǎn),若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn),則周長(zhǎng)的最小值為______.
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【題目】如圖,直線AB交x軸于點(diǎn)B(2,0),交y軸于點(diǎn)A(0,2),直線DM⊥x軸正半軸于點(diǎn)M,交線段AB于點(diǎn)C,DM=3,連接DA,∠DAC=90°.
(1)求直線AB的解析式.
(2)求D點(diǎn)坐標(biāo)及過O、D、B三點(diǎn)的拋物線解析式.
(3)若點(diǎn)P是線段OB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線交AB于F,交(2)中拋物線于E,連CE,是否存在P使△BPF與△FCE相似?若存在,請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】花園內(nèi)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形土地,園藝師設(shè)計(jì)了四種不同的圖案,如下圖的A、B、C、D所示,其中的陰影部分用于種植花草.種植花草部分面積最大的圖案是( 。ㄕf(shuō)明:A、B、C中圓弧的半徑均為,D中圓弧的半徑為a)
A.B.C.D.
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【題目】如圖,在長(zhǎng)方形中, 是邊上一動(dòng)點(diǎn),連接,過點(diǎn)作的垂線,垂足為,交于點(diǎn),交于點(diǎn).
(1)當(dāng)=,且是的中點(diǎn)時(shí),求證: =.
(2)在(1)的條件下,求的值;
(3)類比探究:若=3, =2,則= .
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