Question

【題目】如圖，拋物線過O、A、B三點(diǎn)，A（4,0）B（1，-3），P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y=x+m與對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q.

（1）直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)，并求出拋物線的解析式.

（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)C(2,2)的直線AC與直線PQ交于點(diǎn)D，求： PD+DQ的最大值；②PD.DQ的最大值.

Answer 1

【答案】（1）直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)為45°，拋物線的解析式為y=x-4x；(2) ①PD+DQ的最大值為6;②PD·DQ的最大值為18.

【解析】

（1）根據(jù)直線的解析式求得直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)，根據(jù)拋物線過O、A、B三點(diǎn)可求得解析式；

（2）①過點(diǎn)C作CH∥x軸交直線PQ于點(diǎn)H，可得△CHQ是等腰三角形，進(jìn)而得出AD⊥PH，得出DQ=DH，從而得出PD+DQ=PH，過P點(diǎn)作PM⊥CH于點(diǎn)M，則△PMH是等腰直角三角形，得出PH=PM，因?yàn)楫?dāng)PM最大時(shí)，PH最大，通過求得PM的最大值，從而求得PH的最大值；

②由①可知：PD+PH≤6，設(shè)PD=a，則DQ≤6-a，得出PDDQ≤a（6-a）=-a2+6a=-（a-3）2+18，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，a=3，得出PDDQ≤18．

（1）對(duì)于直線y=x+m，

∵k=1＞0，

∴直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)為45°，

∵拋物線拋物線經(jīng)過點(diǎn)O，

∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax+bx，把A（4,0）B（1，-3）代入得

，解得，

∴拋物線的解析式為y=x-4x.

(2) ①如圖所示，過點(diǎn)C作CH∥x軸交直線PQ于點(diǎn)H，所以△CHQ是等腰三角形.

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2).

∴∠ACQ=45°,

∵∠CDQ=45°+45°=90°,

∴AD⊥PH,

故DQ=DH,

∴PD+DQ=PD+DH=PH.

過點(diǎn)P作PM⊥CH于點(diǎn)M,

則△PMH為等腰直角三角形,

∴PH=PM,

當(dāng)PM最大時(shí),PH最大,

∴當(dāng)點(diǎn)P在拋物線頂點(diǎn)處時(shí)PM取最大值,此時(shí)PM=6,

∴PH的最大值為6,即PD+DQ的最大值為6;

②由①可知PD+DQ≤6,

設(shè)PD=a,則DQ≤6-a.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,n-4n),

設(shè)AC/span>的解析式為y=kx+b，

將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得，解得，

則直線AC的解析式為y=-x+4，

如圖所示，延長(zhǎng)PM交AC于點(diǎn)N，

∴PD=a=PN=[4-n-（n-4n）]=-（n-3n-4）=- （n-）+ ，

又∵-<0,0<n<4,

∴當(dāng)n=時(shí),PD有最大值為,即0＜a≤.

∵PD·DQ≤a(6-a)=-a+6a=-(a-3)+18.

故當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，a=3，

∵0＜3＜，

∴PDDQ的最大值為18.