【題目】如圖,拋物線過O、A、B三點(diǎn),A(4,0)B(1,-3),P為拋物線上一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線y=x+m與對稱軸交于點(diǎn)Q.

(1)直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù),并求出拋物線的解析式.

(2)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時,過點(diǎn)C(2,2)的直線AC與直線PQ交于點(diǎn)D,求: PD+DQ的最大值;②PD.DQ的最大值.

【答案】(1)直線PQx軸所夾銳角的度數(shù)為45°,拋物線的解析式為y=x-4x;(2) PD+DQ的最大值為6;PD·DQ的最大值為18.

【解析】

(1)根據(jù)直線的解析式求得直線PQx軸所夾銳角的度數(shù),根據(jù)拋物線過O、A、B三點(diǎn)可求得解析式;

(2)①過點(diǎn)CCHx軸交直線PQ于點(diǎn)H,可得CHQ是等腰三角形,進(jìn)而得出ADPH,得出DQ=DH,從而得出PD+DQ=PH,過P點(diǎn)作PMCH于點(diǎn)M,則PMH是等腰直角三角形,得出PH=PM,因為當(dāng)PM最大時,PH最大,通過求得PM的最大值,從而求得PH的最大值;

②由①可知:PD+PH≤6,設(shè)PD=a,則DQ≤6-a,得出PDDQ≤a(6-a)=-a2+6a=-(a-32+18,當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時,a=3,得出PDDQ≤18.

(1)對于直線y=x+m,

k=1>0,

∴直線PQx軸所夾銳角的度數(shù)為45°,

∵拋物線拋物線經(jīng)過點(diǎn)O,

∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax+bx,把A(4,0)B(1,-3)代入得

,解得

∴拋物線的解析式為y=x-4x.

(2) ①如圖所示,過點(diǎn)CCHx軸交直線PQ于點(diǎn)H,所以CHQ是等腰三角形.

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2).

∴∠ACQ=45°,

∵∠CDQ=45°+45°=90°,

ADPH,

DQ=DH,

PD+DQ=PD+DH=PH.

過點(diǎn)PPMCH于點(diǎn)M,

PMH為等腰直角三角形,

PH=PM,

當(dāng)PM最大時,PH最大,

∴當(dāng)點(diǎn)P在拋物線頂點(diǎn)處時PM取最大值,此時PM=6,

PH的最大值為6,PD+DQ的最大值為6;

②由①可知PD+DQ≤6,

設(shè)PD=a,DQ≤6-a.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,n-4n),

設(shè)AC/span>的解析式為y=kx+b,

將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得,解得

則直線AC的解析式為y=-x+4,

如圖所示,延長PMAC于點(diǎn)N,

PD=a=PN=[4-n-(n-4n)]=-(n-3n-4)=- (n-)+ ,

又∵-<0,0<n<4,

∴當(dāng)n=,PD有最大值為,0<a≤.

PD·DQ≤a(6-a)=-a+6a=-(a-3)+18.

故當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時,a=3,

0<3,

PDDQ的最大值為18.

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x

0

1

2

3

4

5

y

3

0

1

0

m

8

1)可求得m的值為________;

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