【題目】在四邊形中,點(diǎn)邊上的一點(diǎn),點(diǎn)為對(duì)角線上的一點(diǎn),且.

(1)若四邊形為正方形.

如圖1,請(qǐng)直接寫出的數(shù)量關(guān)系___________;

繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置,連接,猜想的數(shù)量關(guān)系并說明理由;

2)如圖3,若四邊形為矩形,,其它條件都不變,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,連接,請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出草圖,并直接寫出的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1DF=AE,②DF=AE,理由見解析;2)DF′=AE′.

【解析】

試題分析:(1)利用正方形的性質(zhì)得ABD為等腰直角三角形,則BF=AB,再證明BEF為等腰直角三角形得到BF=BE,所以BD﹣BF=AB﹣BE,從而得到DF=AE;

利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ABE=DBF,加上=,則根據(jù)相似三角形的判定可得到ABE∽△DBF,所以=

(2)先畫出圖形得到圖3,利用勾股定理得到BD=AB,再證明BEF∽△BAD得到,則=,接著利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ABE′=DBF′,BE′=BE,BF′=BF,所以=,然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到ABE′∽△DBF′,再利用相似的性質(zhì)可得=

試題解析:(1)①∵四邊形ABCD為正方形,∴△ABD為等腰直角三角形,

BF=AB,

EFAB,∴△BEF為等腰直角三角形,BF=BE,

BD﹣BF=AB﹣BE,即DF=AE;

故答案為DF=AE;

DF=AE.理由如下:

∵△EBF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置,∴∠ABE=DBF,

=,=,

∴△ABE∽△DBF,=,

即DF=AE;

(2)如圖3,四邊形ABCD為矩形,

AD=BC=mAB,BD==AB,

EFAB,EFAD,∴△BEF∽△BAD,

,=

∵△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°α90°)得到E'BF',

∴∠ABE′=DBF′,BE′=BE,BF′=BF,

=,

∴△ABE′∽△DBF′,

=,

即DF′=AE′.

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