【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,AC為⊙O的切線,連結(jié)CO,過B作BD∥OC交⊙O于D,連結(jié)AD交OC于G.延長AB、CD交于點E.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若BE=2,DE=4,求CD的長;
(3)在(2)的條件下,連結(jié)BC交AD于F,求的值.
【答案】(1)見解析;(2)6;(3).
【解析】
(1)連接OD,由切線的性質(zhì)和圓周角定理可得∠CAB=90°=∠ADB,由“SAS”判定△CDO≌△CAO,則∠CDO=∠CAO=90°,然后根據(jù)切線的判定定理可得到CD是⊙O的切線;
(2)設(shè)⊙O半徑為r,則OD=OB=r,在Rt△ODE中利用勾股定理得到r2+42=(r+2)2,解得r=3,即OB=3,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理,由DB∥OC得到DE:CD=BE:OB,于是可計算出CD=6;
(3)由△CDO≌△CAO得到AC=CD=6,在Rt△AOC中利用勾股定理計算出OC=3,再證明Rt△OAG∽△OCA,利用相似比計算出OG= ,則CG=OC-OG=,易得BD=2OG= ,然后利用CG∥BD得到 .
證明:(1)如圖,連接OD,
∵AC為⊙O的切線,AB為⊙O的直徑,
∴∠CAB=90°=∠ADB,
∵OD=OB,
∴∠DBO=∠BDO,
∵CO∥BD,
∴∠AOC=∠OBD,∠COD=∠ODB,
∴∠AOC=∠COD,且AO=OD,CO=CO,
∴△AOC≌△DOC(SAS)
∴∠CAO=∠CDO=90°,
∴OD⊥CD,且OD是半徑,
∴CD是⊙O的切線;
(2)設(shè)⊙O半徑為r,則OD=OB=r,
在Rt△ODE中,∵OD2+DE2=OE2,
∴r2+42=(r+2)2,解得r=3,
∴OB=3,
∵DB∥OC,
∴
即
∴CD=6;
(3)由(1)得△CDO≌△CAO,
∴AC=CD=6,
在Rt△AOC中,OC=,
∵∠AOG=∠COA,
∴△OAG∽△OCA,
∴,
即 ,
∴OG=,
∴CG=OC-OG=3-=,
∵OG∥BD,OA=OB,
∴OG為△ABD的中位線,
∴BD=2OG=,
∵CG∥BD,
∴
∴.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校為了解學生對中國民族樂器的喜愛情況,隨機抽取了本校的部分學生進行調(diào)查(每名學生選擇并且只能選擇一種喜愛樂器),現(xiàn)將收集到的數(shù)據(jù)繪制如下的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)這次共抽取 學生進行調(diào)查,扇形統(tǒng)計圖中的 .
(2)請補全統(tǒng)計圖;
(3)在扇形統(tǒng)計圖中“揚琴”所對扇形的圓心角是 度;
(4)若該校有3000名學生,請你估計該校喜愛“二胡”的學生約有 名.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,折疊矩形ABCD的一邊AD,使點D落在BC邊的點F處.
(1)如圖1,若折痕,且,求矩形ABCD的周長;
(2)如圖2,在AD邊上截取DG=CF,連接GE,BD,相交于點H,求證:BD⊥GE.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)(探究發(fā)現(xiàn))
如圖1,的頂點在正方形兩條對角線的交點處,,將繞點旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,的兩邊分別與正方形的邊和交于點和點(點與點,不重合).則之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)(類比應(yīng)用)
如圖2,若將(1)中的“正方形”改為“的菱形”,其他條件不變,當時,上述結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請猜想結(jié)論并說明理由.
(3)(拓展延伸)
如圖3,,,,平分,,且,點是上一點,,求的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A,B,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點A,將點B向右平移5個單位長度得到點C.若拋物線與線段BC恰有一個公共點,結(jié)合函數(shù)圖象,a的取值范圍是__________.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關(guān)于x的方程(x﹣3)(x﹣5)=m(m>0)有兩個實數(shù)根α,β(α<β),則下列選項正確的是( 。
A. 3<α<β<5 B. 3<α<5<β C. α<2<β<5 D. α<3且β>5
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,A,B,C為⊙O上的定點.連接AB,AC,M為AB上的一個動點,連接CM,將射線MC繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°,交⊙O于點D,連接BD.若AB=6cm,AC=2cm,記A,M兩點間距離為xcm,B,D兩點間的距離為ycm.
小東根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.
下面是小東探究的過程,請補充完整:
(1)通過取點、畫圖、測量,得到了x與y的幾組值,如下表,補全表格:
x/cm | 0 | 0.25 | 0.47 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y/cm | 1.43 | 0.66 | 0 | 1.31 | 2.59 | 2.76 |
| 1.66 | 0 |
(2)在平面直角坐標系xOy中,描出補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標的點,畫出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:當BD=AC時,AM的長度約為 cm.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列命題是假命題的是( ).
A.三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等.
B.如果等腰三角形的兩邊長分別是5和6,那么這個等腰三角形的周長為16.
C.將一次函數(shù)y=5x﹣1的圖象向上平移3個單位,所得直線不經(jīng)過第四象限.
D.若關(guān)于x的一元一次不等式組無解,則m的取值范圍是m≤1.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C = 90°,點O是斜邊AB上一定點,到點O的距離等于OB的所有點組成圖形W,圖形W與AB,BC分別交于點D,E,連接AE,DE,∠AED=∠B.
(1)判斷圖形W與AE所在直線的公共點個數(shù),并證明.
(2)若,,求OB.
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